(1) a+bとbの最大公約数をGとすると、
である。すなわち,(1)では, a+bとbの最大公約数が1であることを示せばよい。
フかいかけ!!
7 24a7
1
約数と倍数
互いに素な自然数の性質(1)
241
自然数とするとき、次の命題を示は
heck
429
4,
あを目が互いに素であるとき、 atbともも互いに素である。
aとbが互いに素であるとき, aとbも互いに素である
nが互いに素である」とは、「m, n の最大公約数が1」ということ
「2つの自然数 m,
え方)
atb=mG ①
G
(h
かつ,b=nG
Gは自然数
zbG
a=(m-n)G
また,2より, Gは6の約数でもある。
すなわち, Gはaとbの公約数である。
aとbは互いに素であるから、
とって,最大公約数が1より, a+bとbは互いに
G=1
aとbの正の公約数は
素である。
(2) aとbの最大公約数を G'とすると、
a=m'G'
とおける.ただし,m' と n'は互いに素な自然数と
1のみ
.③ かつ, b=n'G'
G'は自然数
モ るりま
a+b=m'G'+n'G"=(m'+n')G
する。
3+のより,
m'+n'は自然数であるから,G'は a+b の約数
である。
また,④より, G' はbの約数である。
すなわち,G'はa+bとbの公約数である。
atóとbは互いに素であるから,
よって,最大公約数が1より,aとbは互いに素で
ある。
a+bとbの正の公約
数は1のみ
G'=1
Focus
互いに素な2つの自然数の最大公約数は1
第8章
)例題241 (1)を具体的な数で確認してみよう。
たとえば、40 と147 について, 40=2°×5, 147=3×7? より,互いに素である。
一方,40+147=187 は, 187=11×17 より, 40と 187 は互いに素である。
さらに,147 と187 も互いに素である。
