Question

もも氏

フォーカスゴールドの数一aの例題241、242です。同じような問題なのにどうして証明の仕方が違うのでしょうか
使い分け的なものはあるんでしょうか

(1) a+bとbの最大公約数をGとすると、
である。すなわち,(1)では, a+bとbの最大公約数が1であることを示せばよい。
フかいかけ!!
7 24a7
1
約数と倍数
互いに素な自然数の性質(1)
241
自然数とするとき、次の命題を示は
heck
429
4,
あを目が互いに素であるとき、 atbともも互いに素である。
aとbが互いに素であるとき, aとbも互いに素である
nが互いに素である」とは、「m, n の最大公約数が1」ということ
「2つの自然数 m,
え方)
atb=mG ①
G
(h
かつ,b=nG
Gは自然数
zbG
a=(m-n)G
また,2より, Gは6の約数でもある。
すなわち, Gはaとbの公約数である。
aとbは互いに素であるから、
とって,最大公約数が1より, a+bとbは互いに
G=1
aとbの正の公約数は
素である。
(2) aとbの最大公約数を G'とすると、
a=m'G'
とおける.ただし,m' と n'は互いに素な自然数と
1のみ
.③ かつ, b=n'G'
G'は自然数
モ るりま
a+b=m'G'+n'G"=(m'+n')G
する。
3+のより,
m'+n'は自然数であるから,G'は a+b の約数
である。
また,④より, G' はbの約数である。
すなわち,G'はa+bとbの公約数である。
atóとbは互いに素であるから,
よって,最大公約数が1より,aとbは互いに素で
ある。
a+bとbの正の公約
数は1のみ
G'=1
Focus
互いに素な2つの自然数の最大公約数は1
第8章
)例題241 (1)を具体的な数で確認してみよう。
たとえば、40 と147 について, 40=2°×5, 147=3×7? より,互いに素である。
一方,40+147=187 は, 187=11×17 より, 40と 187 は互いに素である。
さらに,147 と187 も互いに素である。

T(2) a+bと ab が互いに素であるとき,aとbも互いに素である。
aとbが互いに素であるとき, a+bと ab も互いに素である。
より,その命題が正しいことを証明する方法」である.(p.271「命題と証明」を参囲
430 |第8章整数の性質
互いに素な自然数の性質2
Check
例題
例 題 242
a, bを自然数とするとき, 次の命題を示せ。
nを
を「(n
考え方」
普理法とは、
(3
(1) a+bと abが互いに素でないと仮定すると, a+b.
ab はある素数を約数にもつから,
atb=pk ①
解答
考え方」
Tコムで なa ab=Dpl
→ ト とおける。
(k, lは整数)
このとき,2より, かはaまたはbの約数となる。
したがって、かはaの約数とすると,
a= pm (mは整数)
とおける。
pは素数
かはaの約数として
も一般性は失われた
ク
解答
の
い。
これを①に代入すると,
したがって,b=p(k-m) となり,かはbの約数と
なる。
pm+b=pk
すなわち,かはaとbの公約数となり,カキ1 より,
aともが互いに素であることに矛盾する。
かはもの約数としても,同様に矛盾する。
よって, a+bとabは互いに素である。
(2) aとbが互いに素でないと仮定すると, a, bはある素
数かを約数にもつから,
a=pk, b=pl (k, lは整数)
然自料
会の とおくと,
a+b=pk+pl=が(k+l)
ab=p°kl
となり,a+b, abは公約数かをもち, pキ1 より,
a+b, abが互いに素であることに矛盾する。
よって, aとbは互いに素である
大
。 自
Focus
「互いに素でない」とすると, 「ある素数を約数にもつ」ことになり
矛盾することを示す(背田辻