基本 例題 29 漸化式と極限 (4)
***
連立形
00000
P1(1, 1), Xn+1
1
=
4
4
xn+n, In+1=
5
3
-xn+
4
面上の点列 Pn(xn,
くことを証明せよ。
指針 点列 P1, P2,
yn) がある。 点列 P1, P2,
1
5yn (n=1, 2,......) を満たす平
がある定点に限りなく近づくことを示すには,lim, limyn がと
はある定点に限りなく近づ
[類 信州大 ]
p.36 まとめ, 基本 26
n→∞
もに収束することをいえばよい。 そのためには,2つの数列{x},{y}の漸化式から
Xn, yn を求める。 ここでは,まず,2つの漸化式の和をとってみるとよい。
(一般項を求める一般的な方法については、解答の後の注意のようになる。)
811
Xn+1=
1
3
xn+
yn
①, Yn+1=
解答
4
1 x n + 1 − y n
5 Yn
②
①+② から
Xn+1+yn+1=Xn+yn
P1(1, 1) から x+y=2
x=1, y=1
よって
xn+yn=xn-1+yn-1==x+y=2
ゆえに
yn=2-xn
これを①に代入して整理すると
11
Xn+1=
xn+
20
85
32
変形すると
11
32
Xn+1
xn
31
20
31
32
1
また
X1
31
31
32
ゆえに
Xn
=-
31
31/
(-20
n-1
32
1
よって
n→∞
また
32 30
limxn=lim
no31 31
limyn=lim (2-x)=2-
1+0=and
-20))} = 32
Q=-- a+
32
31
数列{X-3は
1
|Xn+1=
xn+
特性方程式
11
20
8-5
の解
a=
公比
31
ラ
11
31
-
20
818
n→∞
31
31
比数列。
y=2xから。
したがって, 点列 P1, P2, ...... は定点
31' 31
3230 に限りなく近づく。
一般に, x=a, y=b, xn+1=pxn+gyn, yn+1=rxn+syn (pqrs≠0) で定められる
{x}, {yn} の一般項を求めるには, 次の方法がある。
方法1
Xn+1+αyn+1=β(x+αyn)としてα, β の値を定め, 等比数列{xn+yn}
用する。
