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例題 158 約数の個数
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(1) (a+α2)(bi+bz+b3+b)(c1+ C2+ c3) を展開すると、 異なる項は何
個できるか.
(2) 200の約数の個数とその総和を求めよ. また, 約数の中で偶数は何
個あるか.ただし、約数はすべて正とする。
考え方 (1)
(a1+a2)(b+b2+b3+64)(c+c+c3)
たとえば、(a,+a)(b+b2+63+64) を展開してできる α・bı に対して
aibi(c+cz+c3) の展開における項の個数は3個である.
(a+a)(b+b2+bx+b) を展開するとき, a b のような項がいくつできるか考
えるとよい。
(2) 1か2か22か2×1か5か5 であるが, (1+2+22+23)(1+5+5²) を展開すると,
1×1, 2×1, 4×1, 8×1,
1×5, 2×5, 4 X5, 8 X5,
1×25,2×25,4×25,8×25
がすべて一度ずつ現れる. したがって, 約数の総和は,次のようになる.
(1+2+4+8)×1+ (1+2+4+8)×5+ (1+2+4+8)×25
解答
=(1 +2 + 4 + 8 ) (1+5+25)
200=23×52 より 約数が偶数になるのは、1以外の2の約数を含むときであるか
ら、2か22か2” を含む約数の個数を求めればよい。
(1) (a+α2)(b+b2+63+64) を展開してできる項
の個数は2×4 (個) である.
また, (a2+az) (bi+b2+63+bx) の1つの項
arb, に対して、
arbi(ci++Cs)
の展開における項の個数は3個である.
よって、求める項の個数は,
200を素因数分解すると,
(3+1)x (2+1)=12
(2)
Focus
より、約数の個数は,
また、約数の総和は,
12個
2×4×3=24 (個)
200=23×52
(1+2+2'+2°) (1+5+5²)=465
また、偶数の約数は 2か2か23 を含むもの
3×(2+1)=9
より、偶数の約数の個数は, 9個
次の問いに答~マスター編~ 第6章 場合の数 数学A
a2の2通り
a,
bi, bz, b, b4 の4通り
第58 (1) 600の約数の個数とその総和を求めよ。
C1, Cz, C3 の3通り
|積の法則
1
2³
約数の個数は、 素因数分解し,積の法則を利用する
α'×b×c” の約数の個数は、 (+1)(g+1)(r+1)個 (α, b, cは素数)
22
2¹
1 1·12·12·12·1
5' 1.5' 2'.5' 2.5 23.5'
52 1.5 2'･5² 2.52 23.52
偶数になるのは、1以外の
23 の約数を含むとき
(2) 2250の約数の中で、偶数となるものの数とその総和を求めよ。今か.328)
