例題10 逆関数と合成関数
次の問いに答えよ。
□(1) 関数f(x)=px+q(カキ) について,f'(x)=f(x) となる条件を求
めよ。
□(2) 関数 f(x)=x+4
x+2
めよ。
考え方 f'(x)=f(x) のとき, f(f'(x))=xより,
解
f(f(x))=x
'(x)=f(x) のとき, f(f'(x)=x より, f(f(x))=x
(1) f(f(x))=f(px+q)=p(px+q)+g=px+p+g より,
(2) について, f(x)=f(x) となる条件を求
p²x+pq+q=x
これがxについての恒等式であるから,
p=1....... ①, pq+q=0.②
p = ±1
①より,
②に代入
よって,
(2) f(f(x))=
p=1のとき,g=0
して,
p = 1, g = 0 または p= -1, gは任意の実数
p.px +4 +4
++2
p=1のとき,gは任意の実数
x+2 _p(px+4)+4(x+2) _ (p²+4)x+4p+8
px +4
px+4+2(x+2)
(p+2)x+8
x+2
(p²+4)x+4p+8
(p+2)x+8
り,
分母を払って整理すると, (p²+4)x+4p+8=(p+2)x² +8x
これがxについての恒等式であるから,
・・・・･
0=p+2...... ①, p’+4=8 ②, 4p+8=0....③
①より,=-2 であり、これは②, ③を満たす。
よって, =-2
