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特講
例題
111 方程式の解の存在範囲 [3]
D
[頻出]
★★☆☆
xについての2次方程式 x2 + (α-1)x-a+2=0の1つの解が20
の間にあり、もう1つの解が0と1の間にあるような定数αの値の範囲を
求めよ。
既知の問題に帰着
3章
2次関数と2次不等式
思考プロセス
(例題 109 (3)...
1つの解が
例題 111
x < 0, もう1つの解が 0<x
…1つの解が-2<x< 0, もう1つの解が0<x<1
⇒端点 x = -2, x=1の条件をどのようにすればよいか?
Action» 2数α, bの間の解は, f (a), f (b) の符号を考えよ
■ f(x) = x +(a-1)x-d+2 とおく。
f(x) = 0 の2つの解を α, β (a <β)
とすると,-2<α < 0 <B<1であ
るから,グラフは右の図。
よって
f(-2) = -α-2a +8 > 0
f(0) = -α+2 < 0
...(2)
y
-2
y=f(x) のグラフは,下
に凸の放物線である。
a
O 1
+
O +
-2.
1 x
f(1) = -a° + a +2 > 0
① より, d' +2a-8 < 0 となるから
よって
4<a<2 ・・・ ④
...
②より, d-2 > 0 となるから
(a+4) (a-2) < 0
(a+√2)(a_√2) > 0
よって a<-√2,√2<a … ⑤
③より,d-a-2<0 となるから
(a+1)(a-2) < 0
よって -1<a<2 ⑥
④~⑥ より, 求めるαの値の範
(5)
(5)
x
f(-2) > 0, f(0) < 0,
f (1) > 0 のとき,必ず
y=f(x) のグラフと x軸
は2点で交わるから 判
別式について考える必要
はない。
また,頂点や軸の位置に
ついては,特に考慮しな
くてもよい。
囲は
√2 <a< 2
Point... 方程式の解の存在範囲
関数 f(x) が a≦x≦b の範囲で連続(つながった曲線)
で,f(a)f(b) < 0 ならば,f(c) =0 となるcがαとも
の間(a<c<6) に存在する。
y=f(x)/
y=f(x)
a
x
cbx
不等式 f(a)f(b) < 0 は f(a) と f (b) が異符号であ
ることを表し
{f(a) > 0
の場合と
1f(b) <0
{f(a) <0 の場
\f(b)>0
合の両方を表している。
