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重要例題 53 2変数関数の最大・最小
(1)x, yの関数P=x+2y-6x+4y-2 の最小値を求めよ。
(2)x4,y≦4のとき、(1)のPの最大値と最小値を求めよ。
xyの関数 Q=x-4xy+5y-6x+6y+10 の最小値を求めよ。
例37
指針とは互いに関係なく値をとる変数だから,次のようにxとy を別々にとらえて処理
する。
のうちの一方の文字 [(1) (3) とも] を定数と考えて、式をxの2次関数と
みる。 そして、基本形 α(x-p)+αに変形する。
残ったg(yの2次式)も基本形 b(y-r) '+s に変形する。
③ aX2+by+s(a>0, 60, sは定数)は,X2≧0,y2≧0 であるから,X=Y=0 の
とき最小値をとることを利用する。
解答 (1) P=x2-6x+2y'+4y-2
=(x-3)2-9+2y2+4y-2
=(x-3)2+2y'+4y-11
=(x-3)2+2(y+1)2-13
x, y は実数であるから
(x-3)2≧0, (y+1)^≧0
よって,Pはx-3=0, y+1=0のとき最小となる。
ゆえに x=3, y=-1のとき最小値-13
まずxについて基本形に。
次にyについて基本形に。
+s の形。
(実数) ¥0
(2) 0≦x≦4のとき
0≦y≦4 のとき
したがって,Pは
02≦(x-3)≦32
12≦(y+1)≦52
x= 0, y=4のとき最大値32+2・52-13=46
x=3, y=0のとき最小値02+2・1-13=-11
をとる。
(3) Q=x2-2(2y+3)x +5y2+6y+10
={x-(2y+3)}2-(2y+3)2+5y2+6y+10
={x-(2y+3)}2+y^-6y+1
={x-(2y+3)}2+(y-3)2-8
x, y は実数であるから
{x-(2y+3)}2≧0, (y-3)2≧0
よって,Qはx-2y+3)=0, y-3=0 のとき最小とな
る。x-(2y+3)=0, y-3=0 を連立して解くと
x=302, x=0で 32
y=0 で 12,y=4 で 52
< (1) と同様, x2 の係数が
1であるから,まず,x
について基本形に直す。
なお、練習53 (3) の場合、
x2の係数が2でy2の
係数が1であるからま
ずyについて基本形に直
した方が, 計算は簡単。
x=9, y=3
ゆえに
x=9, y=3のとき最小値 -8
118
11
2次関数の最大・最小
