Question

こ

この問題の解法がわかりません。
解説は何度も見たのですが、どうしてもグラフと結びつけられません。
解説お願いします。
追加で赤四角のところも解説お願いします。

重要例題 53 2変数関数の最大・最小
(1)x, yの関数P=x+2y-6x+4y-2 の最小値を求めよ。
(2)x4,y≦4のとき、(1)のPの最大値と最小値を求めよ。
xyの関数 Q=x-4xy+5y-6x+6y+10 の最小値を求めよ。
例37
指針とは互いに関係なく値をとる変数だから,次のようにxとy を別々にとらえて処理
する。
のうちの一方の文字 [(1) (3) とも] を定数と考えて、式をxの2次関数と
みる。 そして、基本形 α(x-p)+αに変形する。
残ったg(yの2次式)も基本形 b(y-r) '+s に変形する。
③ aX2+by+s(a>0, 60, sは定数)は,X2≧0,y2≧0 であるから,X=Y=0 の
とき最小値をとることを利用する。
解答 (1) P=x2-6x+2y'+4y-2
=(x-3)2-9+2y2+4y-2
=(x-3)2+2y'+4y-11
=(x-3)2+2(y+1)2-13
x, y は実数であるから
(x-3)2≧0, (y+1)^≧0
よって,Pはx-3=0, y+1=0のとき最小となる。
ゆえに x=3, y=-1のとき最小値-13
まずxについて基本形に。
次にyについて基本形に。
+s の形。
(実数) ¥0
(2) 0≦x≦4のとき
0≦y≦4 のとき
したがって,Pは
02≦(x-3)≦32
12≦(y+1)≦52
x= 0, y=4のとき最大値32+2・52-13=46
x=3, y=0のとき最小値02+2・1-13=-11
をとる。
(3) Q=x2-2(2y+3)x +5y2+6y+10
={x-(2y+3)}2-(2y+3)2+5y2+6y+10
={x-(2y+3)}2+y^-6y+1
={x-(2y+3)}2+(y-3)2-8
x, y は実数であるから
{x-(2y+3)}2≧0, (y-3)2≧0
よって,Qはx-2y+3)=0, y-3=0 のとき最小とな
る。x-(2y+3)=0, y-3=0 を連立して解くと
x=302, x=0で 32
y=0 で 12,y=4 で 52
< (1) と同様, x2 の係数が
1であるから,まず,x
について基本形に直す。
なお、練習53 (3) の場合、
x2の係数が2でy2の
係数が1であるからま
ずyについて基本形に直
した方が, 計算は簡単。
x=9, y=3
ゆえに
x=9, y=3のとき最小値 -8
118
11
2次関数の最大・最小

重要例題
53
2 変数関数の最大・最小
(1) x, yの関数P=x+2y2-6x+4y-2の最小値を求めよ。
(2)0x40≦ys4のとき、 (1) のPの最大値と最小値を求めよ。
本
x, yの関数 Q=x-4xy+5y2-6x+6y+10 の最小値を求めよ。
<例37
(3)
指針とは互いに関係なく値をとる変数だから,次のようにxとyを別々にとらえて処理
する。
1
のうちの一方の文字 [(1), (3) ともy] を定数と考えて、式をxの2次関数と
みる。そして、基本形α(x-p)+αに変形する。
2残ったg(yの2次式)も基本形b (y-r) '+s に変形する。
3
ax2+by+s(a>0, 60, sは定数)は,X2≧0 Y'≧0 であるから,X=Y=0 の
とき最小値sをとることを利用する。
解答 (1) P=x-6x+2y2+4y-2
=(x-3)2-9+2y2+4y-2
=(x-3)2+2y2+4y-11
=(x-3)2+2(y+1)2-13
x, y は実数であるから
まずxについて基本形に。
次にyについて基本形に。
(x-3)2≧0, (y+1)^≧0
よって, Pはx-3= 0, y+1= 0 のとき最小となる。
(実数) ¥0
ゆえに
x=3, v=-1のとき最小値-13
(2) 0≦x≦4のとき
02≦(x-3)232
0≦y≦4のとき
12≦(y+1)2≦52
したがって, Pは
x = 0, y=4のとき最大値32+2・5'-13=46
x=3, y=0のとき最小値02+2・12-13=-11
をとる。
(3) Q=x2-2(2y+3)x +5y2+6y+10
={x-(2y+3)}2-(2y+3)2+5y2+6y+10
={x-(2y+3)}2+y2-6y +1
={x-(2y+3)}'+(y-3)2-8
x, yは実数であるから
{x-(2y+3)}2≧0, (y-3)2≧0
よって, Qはx-(2y+3)=0, y-3=0のとき最小とな
る。x-(2y+3)= 0, y-30 を連立して解くと
x=9, y=3
x=3で 02, x=0で32
y=0で12, y=4で52
< (1) と同様, x2 の係数が
1であるから、 まずx
について基本形に直す。
なお、練習53 (3) の場合、
x 2 の係数が2で,y'の
係数が1であるから、 ま
ずyについて基本形に直
した方が、計算は簡単。
ゆえに
x=9, y=3のとき最小値 -8
O
118
12
2次関数の最大・最小

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ととろ

これはグラフを使う問題ではないですね
A²+B²+C (A, Bはxやyを含む式、Cは含まない式)
の形に変形して
A²+B²+C≧C から最小値がCであることを示します

(1) はx, yが全ての実数の時、(2)は x, yに範囲がある時です

こ

赤四角の式変形?の部分ってどうなっているんですか?
自分は写真のようになると思うのですが解説お願いします🙇

ととろ

左の項 (-3)² は (-3) に負の数 (-3) を掛けるのだから、不等号の向きは変わります

実際、(-3)²=+9 なのでその不等式は成り立ちませんよね

こ

-忘れていました💦。
頭の中を整理できました。ありがとうございます。