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第1章 数列の極限
Think
例題14
不等式の証明(1)
nを自然数とするとき, 次の不等式を示せ]
1
(1) n!≥2"-1
(2)
3!
解答
THE
(3)
考え方 (1) 数学的帰納法を用いる.
(1) (I) n=1のとき,
利用できないか考えてみる.
(3) 二項定理と (2)の結果を利用する.
n!
(n=
n=1のとき成り立つ
1
1 1
(2)(1)では2'-' であり, (2)では+2 +
1
1! 2!
(左辺)=1, (右辺) = 1 より,
1 1
1
+ +
n=k+1 のとき.
1!2!
(n+1)"
n"
+ ++ +
となり成り立つ.
(II)n=kのとき, 与式が成り立つと仮定すると,
k! 22-1 (k≥1)
(+1)! 2 が成り立つことを示す。
(k+1)!= (k+1).k!≧(k+1).2k-1
ここで,k≧1 より
したがって,
②より (k+1)! ≧2 となり,n=k+1の
も与式は成り立つ.
よって, (I), (Ⅱ)より、 すべての自然数nに対して,
n! ≧2" - は成り立つ.
(2)(1)より,n!≧2"-' であるから,
+
よって、与式は成り立つ
1
1 1 1
n!
20+21
=(n+1)=(1+1/2)
(n-1)!
1
k+1≧2
(k+1).2k-¹≥2.2k-1=2k
+ (1) ゴーゴーゴー
2
1 n(n-1)
2!
·+·
1
-<2
1
n! 2"
+...... +
+......
n(n-1)...2
n"-1
+
++
(左辺) = (右辺)
-=2{1-(2)"}<2
+
21-1
n-1
+.C. (!) + .C. (1)
Ch
1 n!
n! n"
(3)
n!」
(③3)
(n+1)"
n"
であるから
示したい式を見
ておく.
①を利用する
1530 +0<1-
H>AL
ab>0 のとき
a<b<
!
初項 10
12/21 =1. 公
の等比数列の第
までの和
10 (12) <1より。
<¹-(-2)* <¹
<1
10 19
