Question

あ

写真二枚目右側の青矢印の式変形はどうなってるのですか？

2
複素数zと複素数wの間に
z+a
z + ia
なる関係がある。 ただし,αは |α=1となる複素数の定数, iは虚数単位である。
□(1) w=2-iのとき, 2 は正の実数であるとする。 αを求めよ。
2.
□ (2) α = iとする。 wが
W =
2
9
8
3
9
を満たすとき, zの表す点が動く範囲を複素数平面上に図示せよ。
W
-
( '02 愛媛大 )

解答の指針
(1) はzが実数であることと|α|=1を使って、とαの値を求めればよい。
(2) を考えるときのポイントは次の2点だ。
POINT
(2)で与えられた不等式はωについての不等式である。この式の
2についての不等式を導くことができる。
POINT
与えられた不等式からw を消去して、 2についての不等式を導く
z+i
2-
2 図形の形がわかるように式を変形する
まず,分数の形をなくすために各辺に 3|z - 1を掛ける。 得られた2つの不等式それぞれにつ
いて 図形の形が現れるように変形していこう。
本間は等式ではなく不等式で与えられているので、2の表す図形は領域となる。2つの不等式が
表す領域の共通範囲が答えとなるので,それを図示しよう。
解答 間違えた原因やどうすれば解けたかを考えながら読もう。 (eek
(1) w=
2+a
2+ia
w
....... ① より,
w(z+ia)=2+α
(iw-1)a=(1-ω)z
w=2-i であるから,
{i(2-i-1}a={1-(2-i)}z A
2ia=(1+i)z
||=1に代入して,
a=-
2i
=(1/2+1/21)
a=
|(1/2+1/21)2|=1
| 1/2 + 1/2²||2|=1
√2²|2|=1
|2|=√2 B
は正の実数であるから, z=√ 2
√2 √2 i
2
2
よって, a = + .... (株)
α=-
2) α = iと①より, w=
-i
w=2+1
を代入すれば
√/²5/10 -(4+1)/5²√2
も参考にしよう!
Azとαを含む式であるが、2が実
数であるので,
α (実数)+(実数) xi
の形に変形できれば, | α = 1 を
利用できると考えよう。
ES O
BGAT K
4/12/2+1/12/21で2は実数より
a=
|a|=1&"), 2²=1
20より2
が求める範囲にあるための条件は、 ② かつ ③ を満たす w が存在する
ことである。
②③ に代入して
22
√² s 2 + 1 - 1 (1 + i)| ≤ ²√2 C
CHECK 4 を消去して2の式をつくることができたか
各辺に3|z-1を掛けて,
√2|z-1|≦|3(z+i) (4+i)(z-1)≧2√2|z-1|
これはz=1を満たす。
√2/2-1/s(-1-i)2+4+4i| ≤2√2/2-1/
√2|2-1||-1-1||2-4|2√2|z-1|
√212-1|≦√212-4|≧2√2|z-1|
|z-1|≦|z-4|≦ 2|z -1| ... ④
(i) |z-1|s|z-4について
|z-1|=|z-4|で表される図形は, 2点 1,4を結んでできる線分
の垂直二等分線である。
よって, |z-1|≦|z -4|で表される領域は直線 |-1|=|z-4|の
左側(原点を含む側で境界線も含む)である。 E
(i) |z-4|≦2|z-1について
|z-4|24|z-112 F
(z-4) (z-4) ≦4(z-1)(z-1)
(2-4)(2-4) ≤4(2-1)(2-1)
zz-4z-4z+1≦zz4z-4z+4
zz ≧4
|2|²24
|z|2
(i), (i)より,
④ ⇔ |-1|≦|2-4|かつ|z|≧2
ゆえに,点zが動く範囲は下の図の斜線部分。
ただし, 境界線を含む。
C POINT
与え
を消
の不
0
25 x
2
POINT
図形の形がわかるよう
式を変形する
まず, 分数の形をなくすた
各辺に3|z-1)を掛ける。
【ICK □不等式を図形がわかる形に変形できたか
Chech
これは原点を中心とする半径2の円の外部 (境界線を含む) を表す。
ここでは不等式なの
区切られた領域の一
|z-1|≤|z-4に
すると成立するので
側であることがわ
F 両辺が正より、両
E
GH GK
2-4 52:
るときには、
を利用して
よい｡
|z-4]=2
|z-11:1
点A(1),
比が1::
点(-2
直径と
H2-4
入する
外部
2つ
範囲
解けない問題はきみ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

| (-1-i)z +4+4i |
=| (-1-i)z -4(-1-i) |

たとえば-1-i = aとおくとわかりやすく、
=| az-4a |
=| a(z-4) |
=| (-1-i)(z-4) |
=|-1-i| |z-4|

↑最後は性質:|xy|=|x||y|より