整数の性質の問題です。解答にもあるように、基本背理法で解くようなのですが、よく分からないです。解説お願いします。 分からない部分 ・そもそも「２つの〜であるとき、」「a+b〜である と」のどちらをまたは、両方証明していくのか ・aとbが互いに素であることに矛... 続きを読む

00 はとも ど、ま いほど、 とき 例題234 互いに素な自然数の性質 2つの自然数aとbが互いに素であるとき, a+b と abも互いに素である ことを証明せよ。 思考プロセス 条件の言い換え ｢~ない」 の証明は ⇒ a+ b と ab が共通な素因数をもたない 「難しいので, 背理法 a + b と ab が互いに素 Action》互いに素であることの証明は,背理法を用いよ 開a + b と ab が互いに素ではないと仮定すると, a+b, ab は素数の公約数を用いて a+b=pm... ①, ab = pn ... 2 とける。 ただし, m, nは整数である。 このとき ② より paまたは6の約数である。 (ア) pαの数であるとき a = pk(kは整数)とおくと, ① より b=(m-k)p m-kは整数であるから, pは6の約数でもある。 (イ)が6の約数であるとき (ア)と同様に (ア),(イ)より,かはaとbの公約数となり, aとbが互いに 素であることに矛盾する。 したがって, a +6 と αb は互いに素である。 (別解) a + b と ab の最大公約数をg とおくと a+b=mg... ①, ab = ng ... 2 と表される。ただし,m,nは互いに素な自然数である。 ①より b = mg-a ②に代入すると 互いに素ではない はαの約数となる。 a(mg-a)=ng よって 同様にして b2=(bm-ng ゆえに,g d','の公約数である。 ここで, a b は互いに素より とも互いに素である から g = 1 したがって, 最大公約数が1であるから, a + b と α は互 いに素である。 a² = (am-n)g ★★★ atbab互いにそである ことを証明したい 背理法(例題 52,53) を 用いる。 を素数の公約数とせず, 単に公約数とすると 例 えば = 6 のとき, αが 2の倍数でbが3の倍数 のように, かが α または 6の約数でない場合もあ る。 は素数であるから1で はない。 a + b と abの公約数をg とおいて,g=1 である ことを示す。 a,b は共通な素因数をも たないから とも共 通な素因数をもたない。 7 章 17 1 約数と倍数

なぜ(2)は23-7x＝5y≧0という式を作る必要があるのですか？教えてください。

お菓子が7個入った箱と5個入った箱の2種類がある。 7個入りをx箱5個入りをy箱購入 する。 (1) お菓子を25人に1人1個ずつ余ることなく配りたい場合、x=アy=イとな る。 同様に, 26人に配る場合は, x=ウ y=エ となり、 27人に配る場合は, I オ y = カ となる。 (2) 太郎さんは,クラスメイト 23人に1人1個ずつ余ることなくお菓子を配りたい。 しかし 7x+5y = 23‥.... ① となるxとyの組合せが見つからなかった。 そこで、①が成り立つような0以上の整数x,yは存在しないことを次のように説明した。 太郎さんの説明 xのとりうる値の範囲を考えると, 0≦x≦キ ...... ② ① を変形すると, 5( +y)=7(4-x) 5と7は互いに素な自然数であるから, 4-xはケの倍数である。 しかし② より コ≦4-x≦サであるから, 4-xがケの倍数となるこ とはない。このことから, ①を満たす0以上の整数 x, y は存在しない。 x=

分からないので教えて下さい。

13 が無理数であることを用いて,次の数が無理数であること 308 を証明せよ。 *(1) 4/3 (2)√2+√6 *(3) √3+√5 1+#* L + z

命題の真偽(3)です。なぜ以下の答え方では間違っているのでしょうか？？よろしくお願いします🙇🏻 答え√2が無理数でないと仮定すると2つの自然数m、nを用いて√2＝m/nと表すことができる。(ただしm、nは互いに素)両辺を平方すると2m^2＝n^2。2m^2は2の倍数であ... 続きを読む

....に対して」 という表現が含まれています. (3)√2が有理数と仮定すると, 2つの自然数m,n を用いて√2= n と表せる. m まず結論の否定 (ただし,m,nは互いに素) 両辺を平方すると, 2m²=n² 左辺は偶数だから,n² も偶数. すなわち, nも偶数. このとき, n²は4の倍数だから2m²も4の倍数. よって, m² は偶数となり, mも偶数. ゆえに, m とnは共通の約数2をもつことになり, mとnが互いに素であることに矛盾する. よって,√2は有理数ではない。 すなわち,√2 は無理数. 最大のポイント

この問題の合同式を使った解法について質問なんですが、最初のNはなぜこのように置けるのでしょうか？

S 整数の性員 例題262 考え方 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整数 のうち、最大のものを求めよ. 不定方程式の応用 (1) (その1) Nは整数x, y, z を用いて, N = 3x+2=5y+3=7z+4 と表せるの 3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る整数をNとする。 y, zについての不定方程式ができる. 3で割ると2余る← 5 で割ると3余る 7で割ると4余る⇔ これらからNの規則性を見つける. 問題文の「3で割る,5で割る, 7で割る」から, N=15α+35万+ b,cは整数)という数を考え, 合同式 (p.440) を利用する。 (その2) (その3) N+1は3の倍数 N+2は5の倍数 N+3は7の倍数 答1 3で割ると2余り, 5で割ると3余り 7で割ると4余る 整数をNとおくと, N=3x+2=5y+3=7z +4 (x,y,zは整数) とおける. 3x+2=5y+3 より, 3x-5y=1 .....① .....1 ①の解の1つは、x=2, y=1 であるから 3×2-5×1=1 ...... ② 0304 3(x-2)-5(y-1)=0 ①-②より, したがって, 3(x-2)=5(y-1) り,x-2は5の倍数であり, kを整数とすると, x-2=5k, すなわち, x=5k+2 ...... ③ 3x+2=7z+4 3と5は互いに素よ また, ③より, 3(5k+2)+2=7z+4, すなわち, 24 15k-7z=-4 ...... ・④ ④の解の1つは,k=3, z=7 であるから, 15×3-7×7=-4 ...... ⑤ 5 ④ - ⑤ より, 15(k-3)-7(z-7)=0 ミ まず不定 3x+2= を考え 次に |3x+ を考

この問題の解説にある｢35k+17<1000｣の部分が分かりません なぜこうなるのでしょうか

□ (3) 等式 [[[][][][][[組(x,y)をすべて求めよ. y 36.5で割ると2余り,7で割ると3余る3桁の自然数の中で最大のものを 求めよ. 3 ees 次の問いに答えよ.

ここの全ての問題のやり方を教えてください💦 至急お願いします 丸つけをしたいのですがあっているか分からないので、 参考程度にして、勉強したいのです。 お願いします🙏

[5] [4] 求めよ。 次の流れにしたがって,方程式 9x-4y = 2① のすべての整数解を x=2,y= チ は①の整数解の1つである。 したがって 9･2-4･ チ=2…………② = ①,②より 9 (x-ツ = 4 (y-テ と変形できる。 9と4は互いに素であるから,x ツ kを整数として.x-ツ|= kと表せる。 このことと③より、求めるすべての整数解は x=k+二,y=ヌ h+ ネ である。 ・③ は ト の倍数であり、 (kは整数) 次の各問いに答えよ。 (1) 2進法で表された 10101 (2) を10進法で表すと, ノハである。 (2) 90 を 7 進法で表すと, ヒフヘ (7) である。

一次不定方程式なのですが、この画像の上から4行目のところが、なぜそうなるのか分かりません。どなたか教えて頂けませんか… 4（x -2）−7（y−1）＝0の部分です。

@4x-7y=1-0 ②(x,y)=(2,1)は解である。 To 4-2-7-1=1 - Ⓡ 2 ・・・ (-@d) 4(x-2)-7(y-1)-0 4と7は互いに素より X-2 = 7k y-1=4ℓ(ρは整数) SX= 7+k+2 (y=4k+1(私は整数) + ),

数Aの整数の問題です。(1)の解答の3行めはどうしてそうなるのか教えてください！

基本例話 134 互除法の応用問題 (1) 000 nの最大公約数と3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一致 することを示せ。 p.553 基本事項 (2) 7 +48 +5が互いに素になるような100 以下の自然数nは全部でいく つあるか。 指針 最大公約数が関係した問題では, p.553 基本事 項(*)で示した、 右の定理を利用して, 数 を小さくしていくと考えやすい。 本問のように、多項式が出てくるときは,まず, 2つの式の関係をα = bg+r の形に表す。 次に, 式の係数や次数を下げる要領で変形して いくとよい。 880 80 2 数A, B の最大公約数を (A,B) で表す。 解答 (1) 3m+4n=(2m+3n) 1+m+n, 2m+3n=(m+n) ・2+n,方で割 m+n=n·1+m よって (3m+4n, 2m+3n)=(2m+3n, m+n) =(m+n, n)=(n, m) are Carr したがって,m,nの最大公約数と3m+4n, 2m+3n の最大公約数は一致する。 se aとbの最大公約数 a=batr 等しい bとrの最大公約数 284, 1-8ES ESE 2048:29- 差をとって考えてもよい。 3m+4n-(2m+3n)=m+n 2m+3n-(m+n)=m+2n 2 m+2n-(m+n)=n m+n-n=m

この問題の黄色で線を引いたところで、なぜ両辺に2をかけたり 3をかけるのか教えて欲しいです。

(1) 13 で割ると4余り, 19で割ると6余る自然数のうち, 3桁で最大のものを求めよ。 求める自然数をnとすると, nは整数x,yを用いて,次のように表される。 n=13x+4, n=19y+6 よって 13x+4=19y+6 すなわち 13x-19y=2 x=3, y=2は, 13x-19y=1の整数解の1つであるから 13.3-19.2=1 両辺に2を掛けると 13.6-19.4=2 ; (2) ① ② から 13(x-6)-19(y-4)=0 (3) 13 19 は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは x-619k すなわち x = 19k+6 (kは整数)と表される。 したがって n=13x+4=13(19k+6) +4 =247k+82 247k+82 が3桁で最大になるのは,k=3のときで n=247.3+82=823 (2) 7で割ると2余り, 20で割ると5余る自然数のうち, 4桁で最小のものを求めよ。 求める自然数をnとすると, nは整数x, y を用いて,次のように表される。 n=7x+2, n=20y+5 よって 7x+2=20y+5 すなわち 7x-20y=3 x=3, y=1は, 7x-20y=1の整数解の1つであるから 両辺に3を掛けると 7・9-20・3=3 ① ② から 7(x-9)-20(y-3)=0 ③ 7と20 は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは x-9=20k すなわち x=20k+9 (kは整数)と表される。 したがって n=7x+2=7(20k+9)+2 ...... …..... 8-0-10 =140k+65 140k +65が4桁で最小になるのは,k=7のときで n= 7・3-20・1=1 =140.7 +65=1045