Question

うい

この問題の黄色で線を引いたところで、なぜ両辺に2をかけたり 3をかけるのか教えて欲しいです。

(1) 13 で割ると4余り, 19で割ると6余る自然数のうち, 3桁で最大のものを求めよ。
求める自然数をnとすると, nは整数x,yを用いて,次のように表される。
n=13x+4, n=19y+6
よって
13x+4=19y+6
すなわち
13x-19y=2
x=3, y=2は, 13x-19y=1の整数解の1つであるから 13.3-19.2=1
両辺に2を掛けると
13.6-19.4=2 ; (2)
① ② から 13(x-6)-19(y-4)=0
(3)
13 19 は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは
x-619k すなわち x = 19k+6 (kは整数)と表される。
したがって
n=13x+4=13(19k+6) +4
=247k+82
247k+82 が3桁で最大になるのは,k=3のときで n=247.3+82=823
(2) 7で割ると2余り, 20で割ると5余る自然数のうち, 4桁で最小のものを求めよ。
求める自然数をnとすると, nは整数x, y を用いて,次のように表される。
n=7x+2, n=20y+5
よって
7x+2=20y+5
すなわち
7x-20y=3
x=3, y=1は, 7x-20y=1の整数解の1つであるから
両辺に3を掛けると
7・9-20・3=3
① ② から
7(x-9)-20(y-3)=0
③
7と20 は互いに素であるから, ③ を満たす整数xは
x-9=20k すなわち x=20k+9 (kは整数)と表される。
したがって n=7x+2=7(20k+9)+2
......
….....
8-0-10
=140k+65
140k +65が4桁で最小になるのは,k=7のときで
n=
7・3-20・1=1
=140.7 +65=1045

Answer 1

maru

①から②を引く過程で右辺を0に揃えて計算しやすいようにするためですかね？間違っていたらすみません💦