Question

かい

丸つけてるとこなんで3分の4でてんくんのかわかりません、

指針 158 〈面積の問題〉
面積を求めるには、まずグラフの概形をかく。
(1) 絶対値に注意。
(2) まずは、2つの曲線の交点のx座標を求める。
(1)x≦2から
-2≤x≤2
.......
①
y=x-3-2 から y=2x-41-2 ②
① のとき,②は y= (x4)-2 すなわち ys-
3
また, x = -
すなわち
x2+1 を解くと 3x2+4x-4 = 0
(x+2)(3x-2)=0
ya
2
よって
x=-2,
3
-2
1
したがって, 連立不等式が表す領域
は、 右の図の赤く塗った部分である。
ただし,境界線を含む。
求める面積は
S³ {(x²+1)-x)dx
[+]
-S*(-3x²-x+1)dx
3 12
(+2)dx = {} -(-2)}'
4 613
O'
0
-2-3
-x2+1
2≦x≦2のとき
2
x
64
8 3
27
つくりださな公式使え
ない
x²-4≤0
指針 159 〈放物線
(1) Ci の接線
接線
をも
(1) C:y=
Czy
とする。
①から
よって,
Sa-B) dx
すなわち
この直
すなわ
が重
③の
よっ
②カ

解 158,面積の問題
9/15 X 9/19x 8/201
積分法 41
(1)xy平面上で連立不等式 [x2,y≧x,y=2x-3-2 を満たす領域の面積を求
めよ。
(2) 曲線 y=x4x と曲線 y=3x2 で囲まれた図形の面積を求めよ。
[11 京都大・文系]
[16 東京電機大理工,情報環境〕
必 159. 〈放物線の共通接線で囲まれた図形の面積〉
7/20x
=(x-2/21)2-/12. Go:y=(x-2)-12 の両方に接する直線をまとする
2曲線 y=
とき、次の問いに答えよ。
(1)直線の方程式を求めよ。
(2) 2曲線 C1, C2 と直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
[13 宮城教育大〕
160. <3次曲線と接線で囲まれた部分の面積〉
ラフをCとする。

Answer 1

Yoshimarukun

-3/4x^2-x+1とは、写真の上半分に載ってますが
y=-3/4x^2+1とy=x
の交点を求める方程式
-3/4x^2+1=xより得られるものです。xを左辺に移行すれば
-3/4x^2-x+1=0という二次方程式が得られます。

一般にa≠0の元で二次方程式
ax^2+bx+c=0の解がx=p,qのとき
(与式左辺)=a(x-p)(x-q)と因数分解される必要があります。
a(x-p)(x-q)=0でないと、解がx=p,qにならないからです。

-3/4x^2-x+1=0・・・①より
(x+2)(3x-2)=0であるからx=-2,2/3です。
ということは、①の左辺は以下のように因数分解されるということです。
(左辺)=-3/4(x+2)(x-2/3)
実際、これを展開すれば①の左辺に戻ります。

よって、その因数分解は実際にその場でたすき掛けや暗算で求める(別に求めても良いが)わけでなく、写真の前半の結果をしれっと使っているだけです。

Yoshimarukun

一般にa≠0の元で二次方程式
ax^2+bx+c=0の解がx=p,qのとき
(与式左辺)=a(x-p)(x-q)と因数分解される必要があります。
a(x-p)(x-q)=0でないと、解がx=p,qにならないからです。
この部分について、両辺aで割って
(x-p)(x-q)=0じゃないのか？と思うかもしれませんが、今回は展開して元の式に戻る必要があるので残します。

積分を解くときは
a(x-p)(x-q)=0
という右辺0の方程式でないためaで両辺を割るという操作ができず、x^2の係数aで式全体をくくるしかないからです。