Question

ひなこ

(2)の解説に星マークつけているところで、
y=f(x)のグラフが上に凸のグラフと判断できる過程がイマイチよく分かりません。詳しく説明していただけると嬉しいです

194
基本例 115常に成り立つ不等式(絶対不等式)
(1) すべての実数xに対して, 2次不等式 x2+(k+3)x-k>0が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数xに対して, 不等式 ax²-2√3x+α+2≦0 が成り立つような定
p.187 基本事項
数αの値の範囲を求めよ。
指針左辺をf(x) としたときの, y=f(x)のグラフと関連付けて考えるとよい。
(1) f(x)=x2+(k+3)x-kとすると,
すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つのは,
y=f(x)のグラフが常にx軸より上側 (y>0の部分)に
あるときである。
y=f(x)
WORKDA
E
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから, グラフが
常にx軸より上側にあるための条件は, x軸と共有点をも
たないことである。 よって, f(x)=0 の判別式をDとする
と, D<0 が条件となる。
+
x
f(x)の値が常に正
D<0はんについての不等式になるから,それを解いてkの値の範囲を求める。
(2)(1)と同様に解くことができるが,単に 「不等式」とあるから, a=0の場合(2次
不等式でない場合) と α≠0の場合に分けて考える。
a≠0の場合,αの符号によって, グラフが下に凸か上に凸かが変わるから,αにつ
いての条件も必要となる。 また, 不等式の左辺の値は0になってもよいから,グラ
フがx軸に接する場合も条件を満たすことに注意する。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連付けて考える
=(-)-a
解答
(1) f(x)=x2+(k+3)x-k とすると, y=f(x) のグラフ
は下に凸の放物線である
よって、 すべての実数xに対してf(x)>0が成り立つた
めの条件は,y=f(x) のグラフが常にx軸より上側にあ
る,すなわち, y=f(x) のグラフがx軸と共有点をもた
ないことである。
)
ゆえに、2次方程式(x)=0の判別式をDとすると, 求
める条件は D<0 100 (e-)(I
D=(k+3)2-4・1・(-k)=k2+10k+9
=(k+9)(k+1)
であるから, D<0より
(k+9)(k+1)<0
よって
-9<k<-1
0-930
(2)a=0 のとき,不等式は-2√3x+2≦0となり,
例えばx=0のとき成り立たない。
[3]
f(x)のx2の係数は正で
あるから下に凸。
指針
★ の方針。
不等式が成り立つ条件を,
y=f(x) のグラフの条件
に言い換えて考える。
f(x)>0から
D> 0
とすると誤り!
D<0 の "<" は, グラフ
がx軸と共有点をもた
ないための条件である。
α = 0 のとき,左辺は2
次式でない。

DO
よう
設定
項
定旦
☆
a=0 のとき,f(x)=ax²-2√3x+a+2 とすると,
/y=f(x)のグラフは放物線である。
よって、すべての実数xに対し f(x) =0が成り立つため
x軸と共有点をもたない,または, x軸と接することで
の条件は, y=f(x) のグラフが上に凸の放物線であり
ある。
ゆえに, 2次方程式f(x)=0の判別式をDとすると、求
める条件は
a < 0 かつ DO
2=(-√3)-a(a+2)=-α-2a+3
=-(a+3)(a-1)
であるから, D≦0 より
(笑))
(a+3)(a-1)≥0
よって
a≦-3, 1≦a
y=f(x)
0
f(x)の値が常に0以下
<α > 0 とすると,
y=f(x) のグラフは下に
凸の放物線となり
f(x) の値はいくらでも
大きくなるから、常に
195
f(x) ≧0 が成り立つこと
はない。
3章
13 2次不等
a<0との共通範囲を求めて
a≤-3
この例題の不等式のように,すべての実数xについて成り立つ不等式のことを,絶
対不等式という。
不等式の条件をグラフの条件に言い換える
(0)
この例題は,不等式が成り立つ条件を関数のグラフが満たす条件を求めることで解いた。
検討 2次不等式 ax2+bx+c>0 (a≠0) を例に、考え方を整理しておこう。
欠
看
- 不等式の条件
すべての実数xに
ついて, 2次不等式
ax2+bx+c>0
グラフの位置
d
2次関数
小
係数の条件
>0 (下に凸の放物線)
が成り立つ
y=ax2+bx+c
のグラフが常に
x軸より上側にある
かつ
D=62-4ac<0
(x軸と共有点をもたない)
検討
[PLUS
ONE
また,「すべての実数xに対してf(x)>0」は, 「(f(x) の最小値)>0」 と言い換えることも
できる。 問題によっては, グラフの条件よりも、最小値の条件の方が求めやすい場合もあ
る(次ページの例題 116 を参照)。 なお, 例題 115(1) において, 関数
f(x)=x2+(k+3)x-kの最小値が0より大きいための条件は、解答と同じD< 0 である。
2の係数に文字があるときの条件は?
える。 x2 の係数が 0 になる場合も含めて考えると,次のようになる。
(2)のように,xの係数に文字があるとき,考える不等式が2次不等式にならない場合もあ
すべての実数xに対してax+bx+c>0が成り立つ
⇒ (a=b=0)かつc>0)または(a>0)かつD < 0)
練習 (1) 不等式x2-2x≧kx-4の解がすべての実数であるような定数kの値の範
[金沢[]
(2+x-1)<x²+xが成り立つような

Answer 1

🍇こつぶ🐡

問題文の2次方程式≦0、つまり、このグラフはいつも0以下になる。
これはグラフがx軸よりどんな値でも0以下であることを示す。

だから、上に凸で、頂点がx軸以下になる。

もし下に凸だと、問題文の2次方程式≧0になる部分ができるからダメ。

画像2枚目右上のグラフが参考になるかと🙇