マーカーで引いてあるところは、"整数であるので"と断りを入れた方が丁寧ではあります。
ただ、今回はk,lは整数と設定してあるしいちいち書かなくても分かるから別に断らなくてもいいよね。とは思います。整数でなければ3で割って1余る数とは言えないのは確かです。
さて、
3の倍数でない時に3l±1ではなく3l+1と置いてもよいのか、という問いですが、答えは絶対にnoです。
まず3の倍数でない数とは？を考えましょう。
3の倍数でない↔3で割った時にあまりが出る
と捉えれば、3の倍数でない数というのは整数lを用いて、3l+1(3で割って1余る),3l+2(3で割って2余る)の2つで表現できます。
一見すると、今回3の倍数でない数を3l+1と3l-1で設定してるのはあれ？おかしくない？と感じるかもしれないですが、この2つで3で割って1余る数と3で割って2余る数を表現できているんです。
3l+1は3で割って1余る数でいいですよね。
問題は3で割って2余る数です。ここで効いてくるのがlは整数である、ということです。
3l+2(3で割って2余る数)はlは全整数をくまなく動くのでlをl-1としても全整数を網羅できますよね。
すなわち3(l-1)+2=3l-1も3で割って2余る数全てを表現できているんです。これはlに整数であるという以外の制限を設けていないからできることです。
以上の議論から、
3の倍数でない数は3で割って余りが出る数といえて、それらは整数lを用いて3l+1,3l+2と書ける。更にそれは、整数lを用いて3l+1,3l-1と書ける。
というわけです。
質問者さんの3l+1だけだと3で割って2余る数を表現できていないので不十分です。
ちなみに3l+2を3l-1にするのは+1とまとめて3l±1にすることで、1度に計算をできて楽だからです。
3l+1と3l+2だと別々に計算しなきゃなのでね。
何か疑問点あったら聞いてください。
