Question

とれっく

赤線部のとこが特にわかりません。３番の解説を詳しくお願いします🙇

数
308
重要例題 20 | 漸化式と極限 (4)
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漸化式 α = 2,2an+1an=an2+2 (n=1, 2, 3, ......) で定められる数列 (onl
える。 次の(1)~(3) を示せ。
(1) すべての自然数nについて a√2 である。
(2) an+1≦an (n=1, 2, 3, ...)
(3) liman=√2
n→∞
指針 (1) 「すべての自然数nについて……」 の証明であるから,数学的帰納法による。
9
(3) 漸化式から一般項を求めるのが容易でないから, liman=√2 を直接示すのは難しい
81U
(1) (2)の不等式を利用して, liman-√2 | = 0 を示す。 なお, 漸化式 α7+1=flo
ら,一般項を求めずに, 極限値を求める一般的な手順は,次のようになる。
① 極限値を lima = α とし (このとき liman+1=α), liman+1= limf(an) から
n→∞
求める。 このαが極限値の予想となる。
81U
81U
② |an+1-α|<kan-α| を満たすん (0<<1) を見つける。
2
804U
③ ② から, 0<lan-a|<k|an-1-a|<klan-2-α|<...... <ka-alとなり
3
limk"-1=0 であるから, はさみうちの原理により
n→∞
したがって, 極限値は liman = α となる。
lim|an-a|=0
81U
JAA
①のαが実際の極限値となる。
N18

Answer 1

さぼてん

赤線について
lim(n→無限大)１/nであれば一般的な極限として0とわかる。1/nがn番目の項の形になっているから、∞番目の項の値が求められたためである。
対して漸化式だけでは∞番目の項の値がわからない。したがって∞番目の項=√2とできない。
ここでもし、∞番目の項をαとして、このαが√2であれば、α=√2なのだからα-√2=0は当然成り立つ。

=√2がしんどい反面、ある項との差が0になるかどうかであれば比較的容易に確かめられるから、その方針でいくよ　の確かめの一文。0になればいいが差なので場合によっては負をとるため絶対値はつけているが、以降の手順で確認できる通り大きくは影響ないかと。

以降の仮定については、わりと丁寧に書いてあると思いますがどこがわからないんですか