Question

おもち

教えてください🙇🏻‍♀️よろしくお願いします！

実数x, y が x ≧ 0, y ≧0,x+y=1 を満たすとき,次の式の値の最大値、最
☆ 小値とそのときのx, yの値を求めよ。
20
(1)xy
(2)x2y2+ x2 + y2 +xy
(S)
実数a, b, c が a+b+c = 8 を満たしながら変化するとき, d' + 462 + c2 +2c
の最小値,およびそのときのα, b, c の値を求めよ。
OF
kk

Answer 1

らら

はい

らら

2番目の問題は
a+b+c=8…①のときa^2+(2b)^2+(c+1)^2-1の最小値を求めるので、結局k=a^2+(2b)^2+(c+1)^2の最小値を考えれば良い。(-1は不変のため)
①をa+b+(c+1)=9 と考えると、
ベクトル(1,1/2,1)とベクトル(a,2b,c+1)を用意すれば、
2つのベクトルの内積はa+b+c+1=9(成分計算)…②、
内積の定義式(大きさ)×(大きさ)×(なす角のcos)より、なす角をΦとすると、
3/2･(a^2+4b^2+(c+1)^2)^(1/2)･cosΦ…③である。
②=③なので、
9=3/2・√k・cosΦ
∴√k=6/cosΦ
∴k=36/cos^2Φ
よってk≧36…④が成り立つ。
a=c+1∧a=4b∧a+b+c+1=9すなわち
a=4,b=1,c=3のとき2つのベクトルは同じ向きに平行になり④の等号が成立する。
したがってkの最小値は36である。
よって求める最小値はk-1=35となる。
という解き方もあります。