-
![]()
8/28×
4 空間座標/直線,平面
-
(ア) 座標空間において,2点A(1, 2, 1), B(3,5, 2) がある。直線ABと平面y=8との交点の
座標は である。
(近大・理系)
(イ) 4点A(1,2,3), B(2, 1,0),C(3,2,1), D (-1, 2,z)が同一平面上にあるとき,その
値は
である.
(立教大)
座標とベクトル
I
点Pの座標 (x,y,z) と, 0 を始点とするベクトル
が対応する. 成分計算のしかたは平面と同様で, 和・差・実数
OP=y
倍は成分ごとの和差実数倍である.
例題(ア)は, 直線 AB上の点PをAP=tAB (tは実数)と表し, P が平
面y=8上の点になるときを求めるという方針で解く.Pがy=8上
にあるとは,Pのy座標が8であることだから, OF の成分が8である。
なお, 上の を求めるのであるから, OP=(1-t) OA + OB (tが2か
所に出てくる)よりもOP=OA+tAB(tが1か所のみ) とおく方がよい.
同一平面上のとらえ方 A, B, C, D が同一平面上にあることは,
「AD=sAB+tAC (s, t は実数) と書ける｣ととらえられる。 各辺を成分
表示して比較し,sとt を求めよう.
解答量
(ア) 直線AB上の点をPとすると,
3
B-()+{(G)-(-))-() +(6)
5
3
2
OP=OA+tAB= 2 +t
1
と表せる. これのy成分が8のとき, 2+3t=8
よってt=2となり,このときP (5, 8, 3) である.
(イ) A, B, C を通る平面上にDがあるとき, 実数 s, tを用いて
AD=sAB+tAC すなわち
と書ける。 成分, y成分を比較して
[-2=s+2t
0=-s
[s=0
{t=-1
..
-2
0 =s -1+t
37
2
2
0
このとき成分について z-3=0(2)+(-1)・(−2)
よって, z=2+3=5
4 演習題(解答は p.47 )
aを定数とする. 空間内の4点A(1,0,3),B(0, 4, -2), C (4,-3, 0),
D-7+5α, 14-8a,z)が同じ平面上にあるとき,
A
1B=SAC++AB
(²) = 5(3) +(3) (= 25-26
S2
(3) △ABCの面積を S. △APQ の面積を S2 とするとき,
S₁
← OP=2
の値を求めよ.
P
(1) zaを用いて表せ.
(2)αの値を変化させたとき, 点Dは直線AB上の点P および直線AC上の点Qを通
る. P,Qの座標を求めよ.
tAB
AP=tAB と表すことができて,
OP=OA+AP-0A+AB
(2
B
③
←AB=1
\0
3
AC=2-2=
(1)
1=0 <
-3=-25+tz-35
(滋賀大教)
- 日
・3
PIVE
(5)
8
Dianey/Pixar
(3)
0
-2
(1) AD=sAB+tAC
(2) AP=uAB とお
いて と αを求めよう
Qも同じで AQ=vAC
とおく.
(3) 上の u, につい
て△APQ= uv △ABC
となる.
37
