DO
項 3
本例題 43
対偶を利用した命題の証明
79
00000
文字はすべて実数とする。 対偶を考えて、次の命題を証明せよ。
(2)626 ならば 「| a +6|>1 または |a-b>3」
(1) x+y=2 ならば 「x≦1 または y≦1」
CHART & SOLUTION
p.76 基本事項 6
対偶の利用
pomu
命題の真偽とその対偶の真偽は一致することを利用
(1)x+y=2 を満たすx, yの組 (x, y) は無数にあるから,直接証明することは困難であ
る。 そこで, 対偶が真であることを証明し、もとの命題も真である, と証明する。
条件 x または y≦1」 の否定は 「x>1 かつy>1」
(2)対偶が真であることの証明には、次のことを利用するとよい。
A≧0, B≧0 のとき A≦B ならば A'≦B2 (p.118 INFORMATION 参照。)
(1) 与えられた命題の対偶は
2章
6
=0
#0
とされる。
「x>1 かつy>1」 ならば x+y=
これを証明する。
x>1, y>1 から
x+y> +1 すなわち x+y>2
よって, x+y≠2 であるから, 対偶は真である。
したがって,もとの命題も真である。
(2) 与えられた命題の対偶は
「α+ 6≦1 かつ a-b≦3」 ならば2+62<6
これを証明する。
|a+6|≦1, |a-b≦3 から (a+b)2≦12, (a-b)2≦32
(a+b)2+(a-b)2≦1+9
←pg の対偶は
gp
←x>ay>b ならば
x+y>a+b
(p.54 不等式の性質)
A²=A²
->1
よって
ゆえに
よって
2a2+62) ≦10
a+b25
ゆえに、対偶は真である。
したがって,もとの命題も真である。
← ' + 625 と 5<6 から
a2+62<6
ら選べ
POINT 条件の否定条件, gの否定を,それぞれ,g で表す。
かつ
または
pまたはq かつ
PnQ=PUQ
PUQ=PnQ
PRACTICE 43º
文字はすべて実数とする。 次の命題を, 対偶を利用して証明せよ。
(1)x+y>a ならば 「x>α-b または y>b」
(2)xについての方程式 ax+b=0がただ1つの解をもつならば α≠0
論理と集合
