108 面積 (IV)
mを実数とする.
放物線y=z2-4.x+4………… ①, 直線 y=mx-m+2.....②
について,次の問いに答えよ.
(1)②はmの値にかかわらず定点を通る. この点を求めよ.
√(2)
① ② は異なる2点で交わることを示せ.
①,②の交点のx座標をα, B(α<B) とするとき,①,②で囲
(3)
まれた部分の面積Sをα, β で表せ
精講
Smで表しSの最小値とそのときのmの値を求めよ.
(1) 37 ですでに学んでいます. 「mの値にかかわらず｣ とくれば,
「式をmについて整理して恒等式」 と考えます.
(2) 放物線と直線の位置関係は判別式を利用して判断します。
(3) 106 ですでに学んでいますが,定積分の計算には101 (2) を使います.
(4) 21 (解と係数の関係) を利用します.
解 答
(1) ②より m(x-1)-(y-2)=0
これがmの値にかかわらず成立するとき,
x-1=0, y-2=0
< mについて整理
見なってい
よって,mの値にかかわらず②が通る点は,(1,2)
(2) ①,②より,yを消去して
x2-4x+4=mx-m+2
判別式をDとすると,
D=(m+4)2-4(+2)
:.x2-(m+4)x+m+2=0
<D>0 を示せばよい
=m²+4m+8
=(m+2)2+4>0
よって, ①と②は異なる2点で交わる.
(3) 右図の色の部分がSを表すので
S={(mx-m+2)-(2-4.x+4)}dx
y
(2)
2---
①
O a 1
2
Bx
=S
ちんと
