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(1) 複素数2, wに対して、不等式 [z+a]s[z]+[mr]が成り立つことを示せ.
3 絶対値,極形式(証明問題)
(2) 複素数平面上で、原点を中心とする半径1の円周上に3点. i.yがある.ただし,
α+β+y=0 とする.
(a) 等式 |aß+By+ya|=1
=1が成り立つことを示せ.
a+B+r
(b) 不等式le(8+1)+8(y+1) +y (a+1)2la+8+y| が成り立つことを示せ
(富山大・理(数) -後)
例えば|a|=1という条件が与えられているとしよう。このとき
( a を αで表せる)
a
絶対値の条件式の扱い方
•|α/2=1であるから、 aa=1,
●α = cos0+isin0 とおく.
●|By|=kaBy|=k
などという使い方がある.
絶対値の等式, 不等式の証明
してみたりしよう.
そのままでは変形しにくいときは、両辺を2乗したり、極形式で表
■解答量
(1) z=r(cos0+isin0), w=R(cosy+ising) (≧0, R≧0) とおくと,
|z+w|=|(rcos0+Rcosy) +i (rsin0+Rsing) |
=(rcoso+Rcos)+ (rsin0+Rsing)2
cossint) +2rk (costcosy+sinosing)
+R2(cos2p+sin')
=r2+2rRcos(0-9) +R2
≦r2+2rR+R2=(r+R)2=(|z|+|w|) 2
2+w|≦|2|+|w|
(2) (a) a+By+ya]-[a+8+yl① を示せばよい。
||=|8|-|r|-1により, [a8yl-1.1. BF-1 Yy=1であるから,
\aB+ By+ya] [aB+By+ya][aB+By+ya||1
\aB+By+ya|=-
laby|
aBy
1
+ +
a B
■P(z), Q(z+w) とおくと,wは
PQ を表す複素数で,下図の
ようになる.
AOPQE |z+w|
Q(z+w)
辺を考える
1001
と (1) 成
立
0 ||
この両辺を2乗した式を示して
もよいが、ここでは工夫してみる。
=1により1/27
-ly+a+B[-ly+a+ 8[-]y+a+8
したがって、題意の等式が成り立つ.
(b) la(8+1)+8 (y+1)+y (a+1)=(a+by+ra)+(a+8+z)] ...)
(1)で, z=aß+By+ya, w=a+β+y とおくと, ①により|2|=|w|で,
②-|z+g_n_z]+[]-[g]+[s[-2]]=2la+8+yl
. \α(B+1)+B(y+1)+y (a+1)| 2|α+B+yl
3 演習題(解答は p.113 )
|2|-|za|-|za|-1 をみたす三つのに対して、+230
B=z1zz+228
とおく。
(1)
=y となることを示せ.
(3)の分子は
(2)
Y
|α|=|8|となることを示せ.
Z」の対称式だから、
(Z1+Z2)(22+23)(23+21)
(3) z=-
212223
は実数であることを示せ.
(宮城教大)
B, yで表せる.
2+22α-z」 などとし
よう。
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