基礎問
134 第5章 微分法
74 指数関数の最大・最小
a>0, x>0 のとき, f(x)=xe-² について,次の問いに答えよ。
(1) f(x) の最大値Mをαで表せ.
(2) Mが最小となるα を求めよ.
精講
基本的には, 62,63と同様ですが,大きな違いは,定数αが含ま
ていることです.
これによって, 方程式 f'(x)=0 の解を求める場面で,その解に
字αが含まれることになり、 場合分けが起こるかもしれません。
解答
(1) x>0 のとき
f'(x)=axª-¹e-¹-xªе¯ï
=x²-¹e-¹(a-x)
>0 だから,
f'(x)=0 のとき
M'
M
I
log M=log aªealog M= aloga-a
両辺をαで微分すると,
=loga+a-1
f'(x)
f(x)
M'=Mloga
M>0 だから, M'=0 のとき α=1
よって,増減は右表のようになり,
Mは α=1のとき, 最小 .
a
0
x=a
よって,増減は右表のようになる.
:: M=a²e-a
注 もし a>0 がなければ,0とαの大小の判断がつかないので場合
分けをすることになります. (I)
(2) M=αe-a において, a>0 だから,
M'
M
:
+
0
7
a
【対数微分法 : 63
:
0
aªe-a\
T
1
0
el
+
1
