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第4
58 直線の傾きと
(1) 軸の正方向と 75° をなす直線の傾きを求めよ.
(2) 2直線y=0 (z軸) と y=2.x のなす角を2等分する直線の
精講
うち,第1象限を通るものを求めよ.
(1)直線の傾きと,直線がx軸の正方向となす角の間には
m=tan0 の関係があります。とても大切な関係式ですが、相
はこれだけでは答えがでてきません. それは tan75° の値を知ら
ないからです.しかし, sin 75° や cos 75° ならば, 75° = 45° + 30°と考えれば
54の加法定理が使えます. だから,ここでは tangent の加法定理(ポイント
を利用します.
(2) 求める直線を y=mx, m=tan とおいて, 図をかくと, tan20=2 をみ
たす m(または tanf) を求めればよいことがわかります。このとき、2倍
公式 (ポイント)が必要です.
解答
(1) 求める傾きは tan 75°
tan 75°=
tan 45° + tan 30°
1-tan 45°tan 30°
1 + tan 30°
tan (a+β)
tan +tanβ
1-tana tanẞ
1-tan 30°
1-1x59
=45°~B=30
1+
を代入
√3
√3+1
1
-=2+√3
1--
√3-1
√3
注 75°=120°-45°と考えることもできます。
(2)求める直線 y=mx, この直線がx軸の正方
向となす角を0とすると
y
y=2x
=mx
ゆえに, m=1-m²
∴.m²+m-1=0
m0 だから
=1+√5
m=-
2
√5-1
よって, y=
IC
2
(別解) A(1,0),B(1,m), C(1,2) とおくと,
y=mxは∠AOCを2等分するので
OA: OC=AB BC が成りたつ.
.. 1:√5=m:(2-m)
よって, m=-
ポイント
2 √5-1
2
√5+1
<加法定理>
95
AE 03
第1象限を通るから
I A53
(√5+1)=2「角の2等分線の
性質」
tana±tanẞ
・tan (α±β)=
< 2倍角の公式>
tan 20=
1 + tantan B
(複号同順)
2 tan 0
1-tan20
<半角の公式>
tan2
1-cos
2
1+cos 0
これらの公式はすべて, tan = Sing
の関係と, sin, cos の加法定理、
COS O
2倍角の公式から導かれます.
=2
B
演習問題 58
A
(0<e<. m>0)
tan20=2
2 tan 0
1-tan20
直線 y=x と y=2.x のなす角を2等分する直線y=mz (m> 0)
を求めよ.
