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基礎問
精講
260
第8章 ベクトル
167 空間ベクトルにおける幾何の活用
空間内で原点O, A(2, 0, 0). B(by, bz, 0), C(C1, 2, C3)
を頂点とする正四面体を考える、ただし,b>0,c>0 とする.
を求めよ、
(2) OABC を示せ
(2)
OA=(2, 0, 0)
BC=OC-OB
3
3
(1.3.26)–(1. √3, 0)=(0, -2√3, 2√6)
よって, OA・BC=0
OA=0, BC ¥0 だから, OABC
△OBC は正三角形だから,
Pは辺BC の中点
(3) Pは直線 BC 上の点で、OP⊥BC をみたしている.Pの座
(3)
標を求めよ.
(1)5変数ですから式を5つ作ればよいのですが、5文字の連立方
程式が厳しいことが予想できます。
そこで、正四面体という特殊性を利用して行けるところまで幾何
で押します。
(2) OA-BC0 を示します。 (151)
(3)正四面体の側面はすべて正三角形だから,Pは辺BCの中点になっていま
す。
よって、OP=1/2(OB+OC)
-(2. 4√3 2√6)
√6
3
=(125)
3
P(1, 2√3 √6)
'
3
3
注 正四面体は立方体から4つの四面体を切り
落としたものであることを利用すると正方形
の対角線が直交することから,
OABC は明らかです。
解答
(1) OA の中点をMとすると, OAB は正三
角形だから, BM⊥OA
OM=1 より 6=1
BM=√3,620 より 62=√3
次に, OAB の重心をGとおくと,
ポイント
B
M
BA
I
習問題 167
点が座標で与えられているからといって、必ずしも座
標で考える必要はない. 状況にあわせて、
幾何 座標, ベクトルを上手に選択する
40
座標空間内で,原点O, A(2, 0, 0), B(1,√3,0),C(c1, C2, C
を頂点とする正三角すいを考える.ただし, C30 とする.
(1) OAB は正三角形であることを示せ.
CO=√3 のとき, C1, Cz, C3 の値を求めよ.
G(1, 3.0) MA
四面体 OABCは正四面体だから, CG⊥平面OAB
YA
√3
∴c=b=1, C2=GM=
b2
3
また, 三平方の定理と C3 >0より
C3=CG=√CM-MG2 =√BM2-MG28-10
√3
2
3
=√3
•G
bim
2
M
A
8
26
3
A
