（1）どうして3:1がでてくるのかわかりません。 （2）AG:GDの中線が2:1になるのはわかるけど、 AP:PBが2：1になるのがわかりません　ABは中線じゃなくて辺なのに2：1になるんでしょうか？

ヨ7 次の図で,点Gは△ABC の重心である。 x, yの値を -700 +02 求めなさい。 (1) B x IG D 6- E C (2) X B P 12 A G! D PQ // BC Q5 C p.53 復習問題[3] ■1節 三角

なぜ、ABの中点がMだとその延長線にあるc2はPQの中点になるのですか？

63 2の正三角形OAB と3つの二等辺三角形 COA, C2AB, C3BO 1辺6の正方形PQRS の折り紙がある. 下図のように、1辺 をかいて切り取り, 三角錐を組み立てることにする.このとき 以下の問いに答え上 ただし, AB は PQ と平行とする.. (1) 辺ABの中点をM, 直線ABと辺 QR の交点をDとするとき、 MD, BD の長さを求めよ。 (2) C3D, BC の長さを求めよ. (3) 三角錐において,Cから △OABに下ろした垂線の足 をHとするとき, CH の長さ を求めよ. (4) 三角錐 C-OAB の体積V を求めよ. |精講 S P MB = 1 だから, BD=31=2 (2) OACとBAC において ・6 A22B C2 (1) OC2 は正方形の対称軸で, M は線分 OC2 上にあるので, MD=123×6=3 3843M R AC3 空間図形を考えるときの基本は, できるだけ平面図形としてとらえること だから、立体と展開図の2つをにらみながら解答をつくっていき (1),(2) まず,必要な部分だけをぬき出した図をかくことが大切です. 次に,直角がたくさんあるので,直角三角形をみつけて, 三平方の定 三角比の利用を考えます (61). (3) 四面体 C-OAB の条件から,Cから底面に下ろした垂線の足Hは△ の外心です (62) , △OAB は正三角形なので, Hは重心でもあります た垂線を下ろしているので, (1), (2)と同様に直角三角形に着目します。 A D 20 M A B B

解答のOM⊥BCになる理由が分かりせん。教えてください💦

EBCに下ろした垂線を り,線分 CD が円の直径 p.406 基本事項 ① ② 円に関する定理や性質 (*) ある。) フェ 中点連結定理 コ点2つで平行と半分 DBC, ∠DACは半円の に対する円周角 問題は, △ABC が鈍角 三のときも成り立つ。 90° または ∠B=90° の 角形のときは (2) の四 できない。 利用)。 0 (TRIANO) も利用。 =∠CAHであ MAA 050 基本例題12 重心 外心垂心の関係 正三角形でない △ABCの重心G,外心O,垂心Hは一直線上にあって,重心は 外心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から1:2に内分することを証明せよ。なお, 基本例題 71 の結果を利用してもよい。 p.406, 407 基本事項 ①1, ②, ④4 指針 証明することは,次の [1], [2] である。 [1] 3点 G, 0, Hが一直線上にある。 これを示すには,直線 OH上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OH と中線 AM の交点を G′として, G′とGが一致することを示す。 [2] 重心 G が線分 OH を1:2に内分する,つまり OG: GH=1:2をいう。 AH // OM に注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。 …… すなわち 練習 . 右の図において,直線 OH と △ABC の 中線 AMとの交点を G′ とする。 AH⊥BC, OM IBCより, AH// OM であるから AG' G'M=AH : OM 72 =20M:OMBI B MAD" +4BD"-2A (G) =2:1 SBD ⓘ TAM は中線であるから, G′ は△ABC の重心G と一致する。 よって,外心 0,垂心 H, 重心Gは一直線上にありA HG : OG = AG:GM=2:1> OG:GH=1:2 OPT" # C=AD'+12 検討 三角形の外心,内心、重心,垂心の間の関係 心,外心の性質から。 0. GH U18 08,201 2009 基本例題71 の結果から。 M A ①外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である (練習 72)。 円劇・阿 ②重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である(練習70) 内 ③ 正三角形の外心,内心,重心,垂心は一致する (練習 71)。 したがって, 正三角形ではオイ ラー線は定義できない。 Acti (1) 検討 (この例題の直線OH) を 外心,重心,垂心が通る直線 オイラー線という。ただし 正三角形ではオイラー線は定 義できない。下の 検討 ③ 参 照。 (1) PUTO DAA △ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする Oは 413 3章 10 三角形の辺の比、五心

(1)においてです。 解答でなぜ平行である証明がかいていないのですか？ Oは線分DCの中点であるから のみである理由を教えてください。

01 412 00000 基本例題 71 三角形の外心垂心と証明 鋭角三角形 ABCの外心を0, 垂心をHとし, 0から辺BCに下ろした垂線を OM とする。 また, △ABCの外接円の周上に点Dをとり, 線分 CD が円の直径 になるようにする。 このとき,次のことを証明せよ。。 (1) DB=20M ②から (2) 四角形 ADBH は平行四辺形である (3) AH=2OM 指針▷外心・垂心が出てきたときの,一般的な考え方のポイントは 外心外接円をかいて、 等しい線分 に注目する。 または円に関する定理や性質(*) を利用してもよい。 垂心 → 垂線を下ろして,直角を利用。 (*) この例題では,次のことを利用する。 4022).2 p.406 1,2 p.406 基本事項 円周角の定理 (特に, 半円の弧に対する円周角は90° である。) 解答 (1) M は辺 BC の中点, 0 は線分DC の 中点であるから 中点連結定理により DB=20M ① 2) 線分 CD は外接円の直径であるから, DB⊥BC, AH⊥BCより B DB // AH DALAC, BH⊥AC より 検討 DA // BH この問題は,△ABC が鈍角 えに,四角形 ADBH は平行四辺形である。三角形のときも成り立つ。 (2) から AH=DB ② ∠A=90° または ∠B=90°の AH=20M 直角三角形のと M ANCIERS DRA. 中点連結定理 中点2つで平行と半分 A中 TH C : ∠DBC, ∠DAC は半円の 弧に対する円周角。 GA 7

至急‼︎外心の時に青線で引いているところがなぜsinになるのかがわかりません。教えてください。

42 ベクトル 24 3点A(a), B(), C (²) を頂点とする鋭角三角形 ABC の内部の点Pに対して, ABCP:△CAP: AABP=α : B:yであるとき, 点Pの位置ベクトルは ad+B+yc p= a+B+x ときをà, , を用いて表せ。 (Pが重心のとき) P= a+b+c 重・・・・辺の中線の交点 3つの三角形の面積が同じ AからBCに垂線を下ろすとΔBDPとAPCP の面積は等しい。同様に6つの三角形の面積 は等しくなるだからa:0:8:111 と表される。このことを利用して, 点Pが △ABC の重心,外心である A(a) (Pが外心のとき) 2A 垂直二等分線 12B C (11-1-20 ア B. = sin2A (Pが重心) B (2) a:B:r=1/Risin2A:1/2/R'Sin21://R22020 sin 2 B ( M 外接円の半径をRとする。中心間は円周角の 2倍なので Mでは 扇形の孤の長さと面積 半径ri 中心角0. S-1/220 は? singc (SinzA) + (Sin2B) 5² + (sinac) i sin2A+Sin2B+5mm2C #

青チャート⑴解説下から4,5行目 ①から「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」といえるのが何故なのか分かりません。もし①の条件がなくOがBC,CA上にあったらどうなるのですか？ また先程の「AHベクトル=～,BHベクトル＝～」がいえると「AHベクトル≠0ベクトル」「BH... 続きを読む

00000 基本例題 30 線分の垂直に関する証明 △ABCの重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。 (1) OA+OB+OCOH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。 (2)(1) の点Hに対して,3点O,G,Hは一直線上にあり GH=20G Sint flyta [類 山梨大 ] 基本23 基本68 SHU 指針▷(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で OK-ある。 BHOJE AH 0, BC ¥0, BH ¥0, CA ¥0 のとき OA上への ...... (A) AH⊥BC, BH⊥CA⇔AH･BC=0, BH・CA = 0 内積を利用して, ⑩ ((内積)=0] を計算により示す。 とは△ABCの外心であるから 10A-10 |OA|=|OB|=|OČ| も利用。 MAA CHART 線分の垂直 (内積) = 0 を利用 MOTSTAND この長さと同分 であるとい 解答 直角三角形のときは ∠C=90° とする。 (1) ∠A=90°, ∠B=90° としてよい。 このとき,外心O は辺BC, CA 上 にはない。 このとき, 外心は辺AB上 ① にある (辺ABの中点)。 OH=OA+OR+OCから 10+800) AH-OH-OA=OB+OC B A ゆえに AH･BC A (50 =(OB+OC) (OC-OB) = |COC-OB (分割) = 40A = |OC|²—|OB|²=0 0-51ABCの外心 0 → 同様にして メ5-0 BH・CA=(OA+OČ)・(OA-OC) = OẢI—|OCI=0 - -1-5-JA また①から AH=OB+OČ=0, BH=OA+OC≠0 ¥0, ときによって、AH, BC BH CAであるから AH⊥BC, BH⊥CA すなわち AH⊥BC, BH⊥CA 点Hは△ABC の垂心である。 したがって, Jos ならば OA+OB+OC=/OH から OH=30G -+* (2) OG= 3 ゆえに GH = OH-OG=2OG よって, 3点 0, G, H は一直線上にあり 10 GH=20G 428 OH-OA = OB + OC are 5+₂09 初めて、 a·b=0" いえる!!! CLO A OA=OBOC (数学A) 検討 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線 OGH) を オイラー線という。 ただし、正三角形は除く。 POSTO (1) から OA + OB+OC=OH BASA+SA

OH＝1/√3MHになるところが分からないです。そこまでは何とかわかったような。難しいです。お願いします。

224 第8章 図形の性質 101 空間図形 (2) 半径rの球面上に4点A, B, C, D がある. 四面体 ABCD の各辺の長さ を満たしている. このとき, は, AB=√3, AC=AD=BC=BD=CD=2 rの値を求めよ. THE (東大)

(3)が160度になる理由を教えてください、

下の図で,点〇は△ABCの外心である。 角x を求めよ。 135. A ((1)) (2) A (3) A B x 50° 30° B600 60° C 15000 60° CB O x 20°

この問題の1番の内心場合の角度が115ななる理由を教えてください 明日テストなので至急お願いします！

(3) 3 2 以下の問題は答えのみでよい。 ⑥点×3. 下の図において。点PがAABCの内心,外心,垂心であるとき、角度はどのように変わ るか､それぞれ求めよ。 点Pが内心のとき 115: 50% 点Pが外心のとき 100° 点Pが垂心のとき =130° B th ③③3 AABCの内部の点Pと3頂点A,B,Cとを結ぶ直線が対辺 BC, CA, AB と交わる点を それぞれD,E,Fとする。 BD:DC=2:3,FP PC=1:2であるとき を求めよ。 CE EA ELMA △ABDでメネラウスの定理より. + この正 Jean (1)3 ちゃ 5 3か

どうか教えて下さい、、 全てわからないです、

X3/8 重要 例題 166 正四面体と種々の計量 00000 1辺の長さが4の正四面体 ABCDがあるのでの値をそれぞれの式で表せ (1) A から BCD に下ろした垂線AHの長さと (2) 正四面体 ABCD の体積 (3) (1) のHに対して,Hから△ABCに下ろした垂線の長さ 基本165) 指針▷> 空間図形の計量では、直線と平面の垂直(数学A)の性質を使うことがある。 直線が平面α上のすべての直線に垂直であるとき, 直線んは αに垂直であるといい, hiα と書く。 このとき, んを平面α. の垂線という。 また、平面の垂線については、次の性質が重要である。 なお,こ の性質は (2) の別解で利用する。 平面α上の交わる2直線をℓ m とすると hil him ならば h⊥α すなわちんがα上の交わる2直線ℓに垂直ならばんは上のすべての直線と垂直 である。 これらのことを踏まえて、以下のように考える。 (1) 直線 AH は平面 BCD 上のすべての直線と垂直であるから AH⊥BH, AH⊥CH, AH⊥DH ebp20-M-KO+MO- || ここで、 直角三角形 ABH に注目する (立体から平面図形を取り出す) と AH=√AB2-BH? よって まず BH を求める。 (2) 四面体の体積=1/138×(底面積)×(高さ)に従い 1/3･ABCD・AH と計算。 (3) △ABCを底面とする四面体 HABCの高さとして求める。 解答 A (1) AH⊥ABCD であるから, △ABH, ACH, △ADHは いずれも∠H=90°の直角三角形であり AB=AC=AD, AHは共通 ゆえに AABH=AACH=AADH -------D B H よって, BH=CH = DH が成り立つから, Hは△BCD の外 接円の中心であり, BH は △BCD の外接円の半径である。 ゆえに, △BCD において, 正弦定理により a =2BH sin 60° a a よって 2sin 60° したがって a AH=√AB2-BH2 a ² - ( 4² ) ² = √ 6 a 16 BH= 201 √3 1v3 √6 ･・a・asin 60°= (2) ABCD=. -α² であるから, (1) より 11/12/0 AH-1 40².5=222² 3 a √2/ 1.ABCD・AH= 12 a³ 3 CDの中点をMとすると △ACD, ABCD はともに正三角形であるから線分 AMLCD, BMLCD よって、 直線 CD は平面 ABM に垂直である。 √√3 AM=BM=BCsin60°= - a 2 ここで △ABM について, 底辺を AB とすると, 高さは √(√²³ a)²-(2)² = √2 a 2 √2 297 SABM-1-a2a=12² △ABM= よって 4 ゆえに,正四面体 ABCD の体積は 2×(12.AABM-CM)= 23.2.2-12 √2 2X -a³ (3) 3つの四面体 HABC, HACD, HABD の体積は同じであ るから、(2) より,四面体 HABC の体積は 1 √2 √2 -a³= 3 12 36 /2 求める垂線の長さをんとすると 1 36 -a³= ･・△ABCh 3 △ABCの面積は (2) 求 めたABCDの面積と同じ。 よって h=α°•3•- 4 √3 a² √6 36 a 9 (1)正三角形において, その外接円の中心 (外心)と重心は一致する。 このことを利用して 次のように考えてもよい。 なお, 重心については数学Aで詳しく学ぶ。 △BCDは正三角形であるから, 外心H は ABCD の重心でもある。 線分 CD の中点をMとすると B BH-BM-√3 a したがってAH=√AB²-BH2 3 M D a²_ a a V 3 BH: HM=2:1 SL 練習 1辺の長さが3の正三角形ABCを底面とし, PA=PB=PC=2の四面体 0166 PABCがある。 辺AB上の点Eと辺AC上の点Fが, AE = AF = 1 を満たす。 (2) 点Aから3点P, E,F を通る平面に下ろした垂線の長さんを求めよ。 (1) 四面体 PAEF の体積を求めよ。 Op.264 EX122 を忘れないように! /M 3 B M 257 √√3 1-HA:19 A R ◆ △ABM を底辺とする三角 錐を2つ合わせたものとと らえる。 4章 19 三角比と図形の計量