基本例題219 3次方程式の実数解の個数 (2)
3次方程式x-3a²x+4a = 0 が異なる3個の実数解をもつとき、 定数aの値の範
ISC 00000
囲を求めよ。
指針 方程式f(x)=0の実数解⇔
k
221
解答
y=f(x)のグラフとx軸の共有点のx座標に注目。
3次方程式f(x)=0が異なる3個の実数解をもつ
y=f(x)のグラフがx軸と共有点を3個もつ
⇔(極大値)>0 かつ (極小値) < 0
(極大値)×(極小値) <0･･･
x
-a
a
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) / 極大 \ 極小 >
- 3次関数では
f(x)=x-3a²x+4a とする。
3次方程式f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから 3次関
数f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号になる。
ここで,f(x) が極値をもつことから, 2次方程式 f'(x) = 0 は
異なる2つの実数解をもつ。
f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a)
f(x)=0 とすると
x=±α
よって
QUER
このとき, f(x) の増減表は次のようになる。
a>0の場合Dx
a<0 の場合
①f(-a)f(a)<0 から
すなわち
Best
4a²(a²+2)>0であるから
したがって
( 極大値)> (極小値)
[昭和薬大〕
...
x
a
f'(x) + 0
(2a³+4a) (-2a³+4a)<0
4a² (a²+2)(a²-2)>0
a²-2>0
a<-√2, √2<a
a=0
:
0 +
f(x) 極大 \ 極小 >
-a
基本 218
極大
演習 224
y=f(x)
極小
337
【(極大値) > 0, (極小値) < 0
a=0のとき, f(x)=x3 と
なり極値をもたない。
1930-
αの正負に関係なく,
x=a, -a の一方で極大,
他方で極小となる。
(極大値)×(極小値)
=f(-a)f(a)
< (a+√2)(a-√2)>0
α≠ 0 を満たす。
61
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