Question

Pima☪︎ *.

微分についてです

三次方程式x*3-3a*2x+4a=0などの定数aの値を求める問題で判別式を使う時と使わない時の違いってなんですか？

写真の問題でいうとこの問題はf*(x)が異なるふたつの実数解を持つから判別式Dを用いてD＞0を示すのかなって思ってやろうとしたんですけど解答のやり方が違ったので気になって質問しました。

基本例題219 3次方程式の実数解の個数 (2)
3次方程式x-3a²x+4a = 0 が異なる3個の実数解をもつとき、 定数aの値の範
ISC 00000
囲を求めよ。
指針 方程式f(x)=0の実数解⇔
k
221
解答
y=f(x)のグラフとx軸の共有点のx座標に注目。
3次方程式f(x)=0が異なる3個の実数解をもつ
y=f(x)のグラフがx軸と共有点を3個もつ
⇔(極大値)>0 かつ (極小値) < 0
(極大値)×(極小値) <0･･･
x
-a
a
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) / 極大 \ 極小 >
- 3次関数では
f(x)=x-3a²x+4a とする。
3次方程式f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから 3次関
数f(x) は極値をもち, 極大値と極小値が異符号になる。
ここで,f(x) が極値をもつことから, 2次方程式 f'(x) = 0 は
異なる2つの実数解をもつ。
f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a)
f(x)=0 とすると
x=±α
よって
QUER
このとき, f(x) の増減表は次のようになる。
a>0の場合Dx
a<0 の場合
①f(-a)f(a)<0 から
すなわち
Best
4a²(a²+2)>0であるから
したがって
( 極大値)> (極小値)
[昭和薬大〕
...
x
a
f'(x) + 0
(2a³+4a) (-2a³+4a)<0
4a² (a²+2)(a²-2)>0
a²-2>0
a<-√2, √2<a
a=0
:
0 +
f(x) 極大 \ 極小 >
-a
基本 218
極大
演習 224
y=f(x)
極小
337
【(極大値) > 0, (極小値) < 0
a=0のとき, f(x)=x3 と
なり極値をもたない。
1930-
αの正負に関係なく,
x=a, -a の一方で極大,
他方で極小となる。
(極大値)×(極小値)
=f(-a)f(a)
< (a+√2)(a-√2)>0
α≠ 0 を満たす。
61
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ぽっきー

それはこのf(x)が因数分解できる時に使える解法だと思います。今回の場合それができませんのでそのやり方だと失敗となるわけです。

Pima☪︎ *.

なるほど……
では、これらの問題の時はなぜ判別式Dを使えるんですか？？(疑問に思っただけなので答えれたらで大丈夫です💦)追い質問すみません🙇‍♂️

ぽっきー

全く問題の趣旨が異なります。
・3次方程式の実数解の個数については
結論を言うと
(極大値)x(極小値)<0
が条件ですので極値をとるxの値を求め、それらをα,βとおけばf(α)f(β)<0(これを解くことでaの範囲が出る)

・3次関数が極値を持つための条件
x＝aで極値をもつためにはx＝aの前後でf'の符号変化が起これば良い。(f'が+から−または−から+)
f(x)が3次関数のとき、f'(x)は必ず2次関数となるため、上記の条件を満たすにはf'(x)＝0が異なる2つの実数解を持つことが条件。したがって、D >0を考えることによってaの範囲を求められる。

これらの理屈とかをちゃんと理解していればそのような質問(なぜ判別式を使うのか)はしないはずです。
実数解の個数のところは2次方程式の話が出てこないのでもちろん判別式の話は登場しませんが極値を持つ条件のところではf'(x)＝0という2次方程式が相異なる2つの実数解を持って欲しいから判別式D>0という話が登場するのです。

ぽっきー

です。もう少し補足すると実数解の個数のところで
判別式D>0とやっても何の意味もありません。
極値をもつための条件を考えてはいますが極値を持つからと言ってそれが異なる3つの実数解を持つとは限りませんよね。

Pima☪︎ *.

ありがとうございます、すみません🙇‍♂️
分かりやすく説明して下さり助かりました！
理屈の理解を深めようとチャートを解き直してたんですけど、全然理解出来てないことがわかったのでまた頑張ります┏○

Pima☪︎ *.

ります┏○