電磁気学のローレンツ力(電子の運動)問題になります。 赤のマークで運動方程式が示される理由と、複素数を用いた連立微分方程式が分かりません。教えていただけると嬉しいです

82 一電磁場中での運動 (複素数による解法) - 電場E (ax, ay, 0) (a>0)の場の中で電子が引力を受けて ry- している。これに外部から磁束密度B = (0, 0, B) の磁場をかけたとき、振動が つに分離することを示せ､ 【ヒント] 位置座標x,yに対し, 複素数z=x+iy を使え. 【解答】 電子の質量をm、電荷を−e とすると運動方程式は mx=-eax-ey Bo my=eay+exBo となる、磁場がかからないとき、電子は角周波数wo =√ea/mの単振動をしている の連立微分方程式を解くとき, z=x+iyの複素数を使うと NOT mz-ieBoz+eaz=0 が得られる、この微分方程式の特性方程式はmi-ie Boi tea=0 である. は λ = iwt, eBo ±√e²B+4mea 2 m W+ となる.したがって、 基本解は二つの振動モード (4, _ によって N x = Ricos wt + R2 cos w_t { y= Risinwt + R2 sin w_t と表わされる. 二つの振動の分離幅は+>0,w_<0 より w+ −|w_|=- z=x+iy=Reiott + Rzeiw-t→ 2 www. eBo m となる. 電子の運動はw+, W_ の合成運動となる.

(2)を教えてください 答えは0です

224 次の条件によって定められる数列{an}の一般項とその極限を求めよ。 An 2an-3 -An *(1)) a₁=0, an+1=1-- an a₁=1/2²₁ = (2) a₁ (3) a₁=2, nan+1=(n+1)an+1 *(4) a₁=1, a₂=2, 3an+2=4an+1-an (5) a₁=1, a2=2, an+2-6an+1+9an=0 an+1=

色々書き込んでてすみません。 最後の答えに+3のn乗がついてるのですが、何度計算しても、+1になります。 分からないので教えてください。

例題 275 漸化式 an+1= pan+g" a=6, an+1=2an+3" (n=1, 2, 3,･･･) で定められた数列の一般項を 求めよ｡ g Action 漸化式 an+1= pan+g" は,両辺をq+1で割ってb= 解法の手順・ 解答 漸化式 an+1=2an+3" の両辺を3"+1で割ると an+1 2 an より 32+1 3 3" ここで, bm これは,α= 2an 3" + 3n+1 32+1 列であるから bn+1 − 1 = ゆえに したがって 1 漸化式の両辺を 3" +1 で割る。 2|bn= とおき, bmとb+1 の関係式をつくる。 an 3" 32の漸化式から 6" を求め, さらに an を求める。 an 3" 2 an bn 2" できる。 a+ 練習 275α=1 とおくと 2 3 3 -(bn − 1) (b) bn−1=1. bn an+1 3n+1 bn+1 = と変形できる。 ai よって, 数列{bm-1} は初項b1-1 = 1,公比 の等比数 bet= B' an より 2 3 を満たす α = 1 を用いて an n-1 2 n-1 +1 とおくと, bn+1=6n+ .. -bn an=3".bn=3・2"-1+3" + bn-1= an+1=2a+3" の両辺を2"+1で割ると 3 12 (12) + 1 3 2 bn= an n 1 3 Pointly an+1 = pan+g" の両辺を p" +1 で割る 方法 3^ an+1 2n+1 au = 3". (-)^-+ 2m = 2 an 2n +1 2an 3n+1 3n 32+1 hei →274 特性方程式 α = bato の解を利用する。 → 61-1= 6² 3 +1 13". an a 4b₁ = 2 = 2 3 2an 3·3n n 3 + 1/2 · (²) * 3" 3.3″ by = 2 20/12/1 22-1 3n-1 =3.2n-1 2-1 3 24-1 n 2-1 × F となるから, 階差数列を用いて解くことも 24-1x3 73,2"-1 7 V90

青線部を教えてください

■bm となる定数の ■奈川大 ] す。 ★★★ 列{an}について 2 7 10 --1998 17 [11-1/30円 a₁-1 1+1 n-1 -=1, 例題124 2an-1 an+1 {an} について AST [埼玉大) 練習 例題 126 漸化式と極限 (3) 2つの数列{an}と{bn}が,a=1,b=1, an+1=2an+66n, bn+1=2a+36 で 定められている。 (1) an+2-Qan+1=β (an+1 - aan) を満たす定数α, βの組を2組求めよ。 [類宮崎大〕 (2) an を,nを用いて表せ。 (1) 1つ目の漸化式から bm= 6 bn 解答 (1) an+1=2an+66 から これとbn+1=2an+36 から よって an+2+an+1=6(an+1+an) an+2-6an+1=-(an+1-6an) 2つの数列{an}, {bn}の一般項an, bn を求めてから極限を求める。 an+1-2an ゆえに, 求める α, βの組は これを2つ目の漸化式に代入して数列{an}の隣接3項間の漸化式を作る。 例題124(2) の要領で, 特性方程式を用いて α, βの組を求める。 (3) bn=- bn= よって |126] (3) 極限値 lim 11-0 (a,β)=(-1,6),(6,-1) (2) an+1=2an+66 において n=1 とするとaz=2a1+6b1=8 ① から, 数列 {an+1+an} は初項a2+α=9,公比6の等比 数列で an+1+an=9・6n-1 3 ② から 数列{an+1-6an} は初項 α2-6a1= 等比数列で an+1-6an=2(-1)^-1 ③ ④ から an an+1-2an 6 9.6"-2(-1)" 7 an bn an+1-2an 6 9.6-¹-2(-1)^-1 7 と ⑤ から ta=m n-1 lim (-/-)" - = 0 であるから n-0 an+2-5an+1-6an=0 Date 9.6"-¹-2(-1)-10 7 9・6"-1-2(-1)n−1 6"+(-1)"-1 --2-- 6 9.6"-2(-1)"-18・6"'+4(-1)-1 6"+(-1)^-1 42 7 9-2 (-1/2)^²-² 1 6 lim 118 an bn 6+ す平面上の点列 Pn(xn,")が なく近づくことを証 an 9 bn 6 1 4 3 P₁(1, 1), Xn+1=Xn+ 5 Yn. Yn+1 = - を求めよ。 1 の 2,公比 (4) ⑤ 3 2 n-1 ◆例題 124 P2. <b, bn+1 を消去して 整理。 特性方程式 x2-5x-6=0 の解 はx=-1,6 an+1 を消去して整 理。 18.6"-L=3.6” 分母・分子を 6-1 で割る。 1 xn+yn (n=1,2,……)を満た 5 はある に限り [大] 213 4章 18 無限等比数列

数Bの数列の漸化式の質問です。 解答の1行目の4an-1が0になったらいけないのに4an-1≠0を示す必要は無いんですか？ 必要があるのならその示し方、必要が無い(そもそも示す必要がないor既に示されてることが明らか)のならそれが何故かを教えてください。

2,45\ ■方針。 ど, 着 両 法 階 「 例題 基本 4-3- 37 an+1= an+1 an+1= 2 an 4an-1 an pantg ① 漸化式の両辺の逆数をとると an panta のように、分子が an の項だけの分数形の漸化式の解法の手順は 1 an+1 1 = b とおくと bn+1=p+gbn an によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 4/5 漸化式 An+1= 練習 37 α=1, an+1= 型の漸化式 p.464 基本例題 34 と同様にして一般項6 が求められる。 また,逆数を考えるために, an=0(n≧1) であることを示しておく。 CHART 両辺の逆数をとる an-1=an-2=.....=a1=0 an 分数形の漸化式 αn+1 47 で扱っている。 3an an ①とする｡ an+1=; 4an-1 答 ① において, an+1=0とするとa=0であるから, an=0 となるnがあると仮定すると 1 an panta 1 an+1 ところが α= (0) であるから,これは矛盾。 よって すべての自然数nについて an=0である。 ① の両辺の逆数をとると =4- = [類 早稲田大] ・基本 34 重要 46\ t bn+1=4-bn 1 an -=6m² とおくと bn+1-2=-(6-2) これを変形すると また b1-2=1-2=5-2=3 ar ゆえに,数列{bn-2} は初項 3,公比1の等比数列で bn-2=3.(-1)^-1 すなわち bn=3· (−1)"'+2 したがって =p+q ___1 bn3.(-1)"'+2 rants panta an bn+1=0b+の形に帰着。 $_$85 (0<1) +0+2=1 <=> an 05 an-1=0 これから an-2=0 以後これを繰り返す。 逆数をとるための十分条 件。 1 4an-1 an an+1 469 特性方程式 α=4-α から α=2 -87 によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 1 章 4 漸化式と数列 bn=1 という式の形か an 5 bn=0 (s≠0)の場合については, p.484, 485 の重要例題 46,

専攻科入試問題を解きました．答え合わせをお願いしたいです！ 試験範囲:線形代数・微分積分 間違い箇所は，解法も添えていただきたいです． 宜しくお願いします．

14 RO3 11 (1) xy + y ここで ay y=0 #cy == #dx x ². とすると logy = = logx + C = -logese y =R²= | J = A·x²² +Bx +D kαic. y'=2A%÷3.これを与式に代入 X (2A x +B) + Aα² +Bα+D. = x² 2A%² + B + A2² + B2 +D₁ = x² 234 ²³² + 2B x + D = ². よって第=-CX+/x² (2) wyll - 4y + 3y = 0· 特性方程式 x² - 4x +3=0 よって #>2 y = C₁ ex + C₂ e ³x cx. 任意定数 No. y² = y + y ² = = { / 次に y = Aexとおく 与式に代入し、係数比較 DATE C = log c (A-3) (A-1)-0 λ = 1,3₁ C₁₂ (₂:1 係数を比較して A = √2/²₁ B=O₁ D=0. (3) ²² ~ 4+ y² + 3 = ex 斉次でとくと、(2) より by = Clex + Czezx1 y' = Aex, y² = AC². A EL/C₁/C₂:14 W Aex- $ex +3ACx = 0' = A$" uttaunz`y=Axe³³² y = Ae² + Axe ², wy²l = Aex + AC²+Axe² = 2A0²+Axex 年式に代入して係数ヒカク A ex +Axex-4A ex-Axe ² + 3Axe² = -2Aex = ex -2A=1よりA-2 Fizy=C₁ex + c₂e³x - xex

着眼点の(3)に3項間漸化式になることが予想されると書いているのですが、何故ですか？

入試演習 数列 添削問題 解答解説 1 問題 (1) x2 +px+q=0の2解をα, β とするとき. an, bn をそれぞれα, βで表せ。 りをax+bn(a,b は実数)とおくとき,次の各問いに答えよ。 p, g, n を正の整数とする。 rn (n = 1, 2, ...) をx2+px+q (p2-4q≠0)で割った (2) 2以上のすべての整数nについて b, はg で割り切れる整数であることを示せ。 着眼点 整式の割算 整数の問題で,数列に関するアプローチを用いて解くタイプである。 (1) xmをx2+px+q で割った余りがan²x+bnなので,Q(x) を整式として x² = (x² + px +q)Q(x) + Anx + b₂n とおける。この等式を用いて, an, bn, α, βの関係式を導けばよい。 解答 (2) {bn}の一般項の表示からは, bn が整数であることすらわからない。 そこで, 自然数nについ ての証明問題であることより, 数学的帰納法を用いる。このとき 仮定を用いて次のnの値で成り立つことを示す という数学的帰納法の構造より, {bn}の漸化式を導くとうまくいく。 漸化式は {bn}の一般項より3項間漸化式になることが予想できるから,まず an+1 - βn+1 を on - β", an-1-βn-1 で表す ことが目標となる。 (1) xn x2+px+q=(x-a)(x-β) で割った余りが anx + by なので,Q(x) を整式として x=(x-α)(x-β)Q(x) +an²+bn とおける。 上式にx=α, x = βを代入すると an=ana+bn βn=anβ+bn となる。 2-4g≠0よりx≠Bであるから, (a – B)an = an – n an - Bn an= α-β また①より bn=an-a. ... bn= == (2) an+1 - βn+1 は (n = 1, 2, ...) と変形できるから an-βn a-β aß(an-1-n-1) a-β - ② より (n=1,2,...) an+1 – Bn+1 = (a+B)(an – Bn) +aßn – an B YMESJI-Z1014 ONKO (a+β)(a^-β") - aβ(an-1-β"- 1 ) <x²+px+q=0 の2解は βなので x² + px+q =(x-a)(x-β) したか x²+px+q=0の判別式を D とすると D=p²-4q であるから D≠0 より aß と と an+1n+1 から di-pl くり出す。

漸化式の問題です。 解き方を教えて頂きたいです。

£α1=6 Aut1 = 2 Am -n²+ bn-1 (n=1) 2017/2 73 €73] [an] 9 一般項

3項間漸化式を解く計算で、どうすれば解答(1枚目)の答えに持って行けるでしょうか。 計算は合ってると思うのですが… 教えて下さい🙇‍♀️

隣接3項間の漸化式 (3) 例題 302 2辺の長さが1cmと2cmの長方形のタイルがある. 縦が2cm,横が cmの長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき,そ のような置き方の総数を an で表す.ただし, nは正の整数である. (1) a1,a2 を求めよ. (2) an+2a+1, an を用いて表せ. (3) {an}の一般項 α を求めよ. 考え方 タイルの置き方を具体的にイメージしてみる. のタイルをA のタイルをBで表すと, +2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか,Bを2 枚置くかで2通りに分け n+1 (ii) n+1 nn+2 られる.これより,n+2 n√n+2 までのタイルの置き方は, an+2=an+1+an となる. 解答(1) タイルの置き方は1通りより n=1のとき, n=2のとき, タイルの置き方は2通りより、a2=2 (2) 横が (n+2)cm のとき, タイルの置き方は、次の2 つに分けられる. SCORE ¹908 (i) すでに横が(n+1) cm までタイルが置かれて いて,最後に縦に1枚置いて, (n+2) cm とする。 (i) すでに横がncmまでタイルが置かれていて, 最 後に横に2枚置いて,(n+2)cm とする。 a= 9 an+1-aan=(2-α)βn-1 また, α+β=1,β2=β+1 より, 2-a=8+1=g² よって, ② - ① より, an+通り A のタイル amtl.22同時に起こら m α=1 a=1+√5₁ 2 よって, (i), (ii) より, an+2=an+1+an (3) 特性方程式x²=x+1, つまり, x2-x-1=0の2つの解を _1+√5 B== 1-√√5 2 2 数列{an+1- aan} は初項 az-aa α,公比βの等比数列より、 - B an+1- aan = β2.BB"+1......① また, an+2-Ban+1=α (an+1- Bay) となるから,上と同様に, an+1- Ban=an+1 an= ...... **** an 通り Bのタイル2枚 -B n または まで置いて (n+1)cm いるので, an+1(通り) 縦に2枚並べる置き方 とすると, an+2 - Qan+1=β(an+1dam) となる。 は(i)に含まれる. mmmmmmmmmmmm p.534 参照 a₂-a₁ = 2-1-4-11-√5 D -(an+¹_Bn+¹) a- 1 n+1 1-√5 x"), an= √5 ((¹+√5)-(¹-√5)*** より, 2/ 2 2 2 3+√5 n+1)

数B 漸化式 下の写真の青マーカー部分についてです。 式の意味がわかりません よろしくお願いします

基本例題 119 an+1= 型の漸化式 [13] a₁ = an+1= an 4an-1 指針 漸化式αn+1= 解答 an pan+q ① 漸化式の両辺の逆数をとると an panta によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 [類 早稲田大〕 基本 116 21= -=b" とおくと bn+1=p+qbn an an 4an-1 ・のように,右辺の分子が α の項だけの場合の解法の手順は 【CHART 漸化式 αn+1= bn+1=●bn+▲の形に帰着。 .......... p.560 基本例題116 また, 逆数を考えるために, an≠0 (n≧1) であることを示しておく。 したがって an= b が求められる。 と同様にして一般項 an pantq -=p+g an an+1 an+1= ①とする。 ① において, an+1=0 とすると α = 0 であるから, α = 0 とな るnがあると仮定すると an-1 = an-2=······= α = 0 ところが α=1/13 (0)であるから,これは矛盾。 よって, すべての自然数nについて α=0 である。 1=4 1 ① の両辺の逆数をとると an+1 bn+1=4-bn 両辺の逆数をとる -=b" とおくと an これを変形すると また b₁-2= 2=5-2=3 a₁ ゆえに, 数列{bm-2} は初項3,公比1の等比数列で b^2=3.(-1)-1 すなわち b = 3.(-1)"'+2 bn+1-2=-(bm-2) 1 1 bn 3.(-1)^'+2 何の式 an 05 an-1=0 これから an-2=0 以後これを繰り返す。 逆数をとるための十分条件。 1 4an 1 an+1 an 7 特性方程式 α=4-α から α=2 <bm= という式の形から an bn *0