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基本例 183 常用対数と不等式
log130.4771 とする。
(1) 3 が 10桁の数となる最小の自然数nの値を求めよ。
(2) 3進法で表すと 100 桁の自然数Nを, 10進法で表すと何桁の数に
指針
数≦Nくん行数
の形に表す
(1) まず.3° が 10桁の数であるということを不等式で表す。
⑩
…………… 改訂版チャート式基礎からの数学A 基本例題I
(2)
3100-1≦N < 100
不等式
進数Nの桁数の問題
10進法で表したときの桁数を求めるには, 不等式 ① から, 10″-N<W
に従って,問題の条件を不等式で表すと
たい。そこで,不等式 ① の各辺の常用対数をとる。
解答
!! (1) 3" が 10桁の数であるとき
各辺の常用対数をとると
ゆえに
9≦ 0.4771n<10
9
0.4771
各辺の常用対数をとると
10°≦3"<1010
9≤n logio 3 <10
よって
·≤n<.
したがって
18.8≦x<20.9...... 08
この不等式を満たす最小の自然数nは
niin=19
(2)Nは3進法で表すと100 桁の自然数であるから
3100-1≤N<3100 $125
10
0.4771
ゆえに
すなわち
よって 1047.2329 ≦N<1047.71
3⁹⁹ ≤N<3100
(mols +50
9910g103≦log1oN<100l0g103
Nがn
→
したがって, Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。
100.4771=3
別解 10g103=0.4771 から
ゆえに,399 ≦N < 3100 から
1047.2329≦N < 1047.71
よって
ゆえに
1047<N<1048
したがって, Nを10進法で表すと, 48 桁の数となる。
A
H
7
2 桁の整数
10-1<N<10
OK この不等式を満
は,n=19,20
「最小の」とい
るので, n=
99×0.4771≦log10N <100×0.4771
47.2329≤log10 N<47.71 Sorgol)07 = (US)orgol 07-Dorgol0
ゆえに 107 <N<1048
(100.4771)≦N<(100.4771) 100
<p=l
Serol)00: