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第9章 微分法·積分法
59
Set Up
59 xy平面上の点 (a, b) を通り, 曲線 y=-x°+x に3つの相異なる接線が引けるとき、
点(a, b) の存在範囲を図示せよ。
(類南山大)
指針
接点が与えられていないので, 接点の座標を(t, -ピ+t) とおく。 点 (t, -ゼ+t)にお
ける接線が点(a, b) を通るので, 接線の式に代入する。 A
3次曲線では接点が異なると接線も異なるので, (接点の個数) %3 (接続の本数) がいえる。
3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件は (極大値) × (極小値)<0である。 B)
(極大値)×(極小値)<0 の条件を連立不等式で表し, 領域を図示する。 ………C
ソ=ーx°+x から
ゾ=-3x°+1
曲線上の点(t, ーパ+t)における接線の方程式は
yー(-ド+t)=(13+1)(x-t)
すなわち y=(-3+1)x+2t°
この直線が点(a, b) を通るから
6=(-3°+1)a+2t°
2-3at+a-6=0
よって
3次曲線では、接点が異なると接線も異なるから, tの方程式 ①
の実数解の個数が,点(a, b) を通る接線の本数である。
ゆえに,接線が3本存在するには, ① が異なる3つの実数解をも
てばよい。
f(t)=D2t°-3at?+a-bとする。
3次方程式f(t)30 が異なる3つの実数解をもっ条件は, 3次関
数f(t) が極値をもち, 極大値と極小値の積が負となることであ
3次方程式が異なる3つの実
数解をもつ条件は
(極大値)×(極小値)<0
a=0 のとき極値をもたない
ので、注意が必要。
る。
f'(t)=6t°-6at=6t(t-a) であるから, a=0のとき f(t) は極値
をもたない。
aキ0のときf()) はt30, aで極大値と極小値をとる。
よって,Dが異なる3つの実数解をもつ条件は
aキ0 かつ f(0)S(a) <0
(a-b)( a-b)<0
(0)S(a) <0から
[aーb>0
ー+a-b<0
a-b<0
よって
または
ー+a-b>0
わくa
b>a
ゆえに
または
b>-a°+a
b<-a+a
このとき,aキ0を満たす。
したがって,求める領域は 図の斜線部分。
ただし、境界線を含まない。
不等式で表された領域を図示
b4
b=a
する。直線6=aは曲線
6=-a'+aの原点における
接線になっている。 曲線の上
a
下関係に注意。
(IC)では放物線と直線が2点
で交わっていた)
a3ta
