Question

へむへむ

(2)~(3)の問題でなぜ双曲線の式に表す事ができるのかがわかりません！
解説お願いします、

202
第6章 積分法
基礎問
(3)(2)より
また,(1
よって,
111 面積(I)
f(t)=e'+e-, g(t)=e*-e-* (-8くt<o) とする。
(1) f(t)の最小値を求めよ。
頂点(土
よって,
(4) A(e-
B(e+
(2) {f(t)}?-{g(t)}? の値を求めよ。
=f(t), y=g(t)と表される曲線をCとす
右図の余
る。このときCの概形を図示せよ.
(4)t=-1, t=1 に対応するC上の点をそれぞれ A, Bとする.線分
AB と曲線Cによって囲まれる図形の面積Sを求めよ。
ここで
で考える
面積に関する最後の問題です.かなり難しいかもしれませんが,誘
導に従ってチャレンジしましょう.
(1) 微分してもよいのですが, 「e*>0, e-*>0」に着目すれば…。
精「講
ここで、
グラフ
(3) (2)から曲線Cは双曲線(3)であることがわかり, (1)から, 双曲線のどの
t:0→
部分が適するかがわかります。
(4) 媒介変数で表された関数について, その関数のグラフと 軸とで囲まれた
部分の面積は |yldar で表せます。
*e
解答
注
(1) e>0, e-*>0 だから, 相加平均之相乗平均より
f(t)=e'+e-'>2/e'.e-t=2
(等号は, t=0 のとき成立)
ゆえに f(t)22 となり, 最小値2
ポイン
下の注
注「F(t)22」から, すぐに「f(t)の最小値は2」といってはいけませ
ん。「f(t)22」は 「f(t)>2 または f(t)=2」 という意味ですから,
f(t)=2 になるtの存在(ここでは t=0) を述べなければなりません。
ただし,微分して増減表をかいた人には, この作業は不要です。
「相加平均之相乗平均」を使えば,早く答えにたどり着くかわりに,
診理的なワナにかかる可能性があるということです。
(2) {f()P-{g(t)}?=(e'+e-')?-(e'-e-)?
演習問題 111
=(e"+2+e-2)-(e2t-2+e-2)=4
(別解)((t)P-(g(t)?=(f(t)+g(t)}{S(t)-g(t)}=2e"*2e-'=4

203
-y=4
3) (2)より
また,(1)より 2
よって,Cは, y=±x を漸近線とする
頂点(土2, 0)の双曲線の右半分。
リ=エ
よって,右図。
(4) A(e-!+e, e-le),
B(e+e', e-e-')だから, Sは
右図の斜線部分の面積を表す。
ここでグラフがェ軸対称だから y20
で考えればよい。
t=1
B
t=0
Nete-i
rete-1
: S=2J。
リ=-2
t=-1
ここで,y=e'-e-t と置換すると,
グラフより,c:2→e+e-! のとき
:0→1 また,等-f()=e'-e
dr
dt
の
S=2 (e-e-)-(e"-e-9dt=2|(e-2+e*")dt
-2|=e°-4-e-2
0
rete
注
Vz-4 dr の積分は z=t+- と置換してもできます。
2
Jyldr として,置換積分
第6章