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11 無限級数/nrn
nは自然数とし,t> 0 とする. 次の問に答えよ.
(1) 次の不等式を示せ.(1+t)"≧1+nt+ n(n-1)f2
2
(2) 0<r<1とする. 次の極限値を求めよ.
(3) 0<x<1のとき, A(x)=1-2x+3x2+..+(-1)n−1nxn-1+･･･ とおく. A(x) を求めよ.
(大阪教大-後/一部省略)
これは∞×0の不定形であるが, nの1次式が∞に発散するより指数関
数が0に収束するスピードの方がはやくて, nr”→0になる, ということである (一般に多項式の発散よ
り指数関数が0に収束するスピードの方がはやい) 指数関数を評価する (大小を比較する不等式を作
る)ときは,二項定理を用いて (途中でちょん切って) 多項式で評価することが基本的手法である。
(2) は (1) とはさみうちの原理を使う.
limnr"=0(0<r<1)
(1)
1-80
■解答
(1) n ≧2のとき, 二項定理により,
(1+t)"="Co+nCit+nC2t2++nCntn
≧nCo+nCit+nCzt2=1+nt+
n(n-1)
2
-t² (t>0)
が成り立ち, n=1のときもこの結果は正しい (等号が成立する).
1
(2) (1)から, 0-
n
(1+t)^
..
①→0 (n→∞)により, はさみうちの原理から, lim
_ 1-(-x)n
1-(-x)
(∵0<x<1により, (-x)"→0,
1+nt+
lim (1+x) Sn=
n→∞
1
1+x
n
数列{an}の第n項をan=-
n
n→∞ (1+t)"
-=rとおくと, 0<r<1のときt>0であるから、②から, limnr"=0
(3) A(x)の第n 部分和をSとする.
Sn=1-2x+3x²-4x3+
n
2n
:.
n(n-1)t2 1
2
n
・+(-1)"-1n.xn-1
_-)-:S= -x +22-3㎡ + ...... +(-1)^(n-1)xn−1+(-1)"no"
(1+x) Sn=1-x + x² −x³ +
..+(-1)^-1xn-1-(-1)"no"
-(-1)"no"
とする.
n→∞
lim
n→∞
1
1+x
11 演習題 (解答は p.28)
lim Sn=
n2-00
n
lim nrn
n100
(1+t)n
--0
+t+
(-1)"no"|=nz"→0)
1
(1+x)²
n-1
2
=0
+2
n→∞
(2)
←左辺-右辺を f(t) とおいて、 麦
分を使って(2回微分する)
こともできる.
←=1-1
←(-1)^-1nz"-1=n(-x)"-1
により,
Sn= ±k ( − x)²-1
k=1
←lim (-1)"no"|=0 により,
118
lim (-1)"nz"= 0
11-0
S
27
S
S₁
S
