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基本 例題
186 曲線の漸近線
曲線 (1) y=
(2)y=2x+√x-1
x2-4
指針 前ページの参考事項 ①~③を参照。 次の3パターンに大別される。
①x軸に平行な漸近線
limy または limy が有限確定値かどうかに注目。
の漸近線の方程式を求めよ。
p.314 参考事項 ①〜③
315
②x軸に垂直な漸近線
またはy → -∞ となるxの値に注目。
軸に平行でも垂直でもない漸近線
181 X
(有限確定値)なら, 直線 y=ax+bが漸近線。
lim2=α (有限確定値)
lim(y-ax)=b
6
2
(x→∞をx→∞とした場合についても同様に調べる。)
②のタイプの漸近線は、分母=0 となるxに注目して判断。また,分母の次数>
分子の次数となるように式を変形すると、③のタイプの漸近線が見えてくる。
(2)式の形に注目しても,①,②のタイプの漸近線はなさそう。しかし,③のタイプの漸
近線が潜んでいることもあるから,で示した極限を調べる方法で,漸近線を求める。
解答
x3
(1)y=
4x
=x+
x2-4
x2-4
lim y = ∞,
2±0
x-2±0
lim=∞ (複号同順)
定義域は,x2-4≠0から xキ±2 漸近線 (つまり極限)を調べ
4
4x
また
lim (y-x)=lim
x
lim
= 0
→∞
xx24
x→±∞
4
1--
x²
以上から,漸近線の方程式は
x=±2, y=x
(2) 定義域は,x2-1≧0 から x≤-1, 1≤x
limy=± ∞ となる定数の値はないから, x軸に垂直な漸
x-p
近線はない。
lim=lim2+ √x-1)=lim(2+
X-00 X x→∞
x
lim(y-3x)=lim(√x2-1-x)=lim
1100
1
=3から
2
x²
-1
-= 0
x→∞
x→∞
√x2-1+x
よって、直線 y=3x は漸近線である。
x-gx
lim Y = lim2+
811X
x-1)=
= lim (2-
1
x
8
やすくするために,
分母の次数分子の次数
の形に変形 (分数式では,
このような式変形が有効)。
(1)x-2y4
3√3-
y=x
x2+0
-2 121
-2√3
0
2√3
xx-24
-3√3
x=2
-t--2-
1-2-
(*) x-8 であるから、
x<0として考えることに注
(2)
意する。つまりxxx
ya
=1(+)
から
2
t
-y=3x
x
lim(y-x)=lim(x+√x2-1)=lim
X-8
x→∞
よって、 直線 y=xは漸近線である。
以上から、漸近線の方程式は
1
=0
xx2-1
y=3x,y=x
-1
-2
★式を求めよ。
