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「シ×
thir
19 cソ以外全の
20 2次不等式/「すべて」と「ある」がらみ
aを実数の定数とする.-2<zS3の範囲で, 関数f(z)=z°+a, g(z)=-r°+4z+2aにつ
いて、以下の条件を満たすようなaの値の範囲をそれぞれ求めよ.
)すべてのェに対して,f(z)2g(z)
あるェに対して, f(z)2g(x)
すべてのエ, I2の組に対して, f(z)2g(z2)
(4) あるI,22の組に対して, f(z)2g(z2)
3
(大阪医大·看護,改題)
条件を言い換える
不等式f(z)2g(z)は, 左辺にェを合流させた形(z)-g(z)20にした
ほうが式変形の可能性が出てくる.一方,不等式f(z)2g(z2)は,f(z)-g(r2)20と合流させて
も」とI2 が同じではないので式変形の可能性はない.(1)~(4)について, 次のように言い換える。
「すべてのxに対して,f(z)2g(z)」→「すべてのェに対してf(z)-g(x)20」 3
→「f(x)-g(z)の最小値20」 これは,前問と同じタイプ
「あるzに対して, f(z)2g(z)」→「あるエに対して, f(z)-g(x)20」
→「f(z)-g(z)の最大値20」(うまいまを選べば,f(z)-g(z)が0以上になる)
「すべてのI1, 22の組に対して, f(z)2g(z2)」
→「f(x)の最小値2g(x)の最大値」 (どんな組でも成立しなければならないから)
「あるI, I2 の組に対して, f()2g(z2)」(うまい組z, Izを選べばf(zn)2g(I2))
→「f(z)の最大値2g(x)の最小値」
ある.18J 多せ(T)
閉式対 (ト
■解答
(2) /4
-16-a
(1) Y4
h(z)=f(z)-g(x)=2z?-4la=2(z-1)?ー(a+2)とおく.
(1) -2Sr<3における h(z)の最小値が0以上であることと同値であり,
2=1のとき最小値-(a+2)をとるから,
1
3
-2\0
ー(a+2)20
. aミ-2
-2 0 1 3
y=h(x)
リ=h(x)
-2Sz<3におけるん(x)の最大値が0以上であることと同値であり,
=-2で最大値h(-2)=16-aをとるから, aハ16
(3) -2<r<3におけるf(z)の最小値を m1, g(x)の最大値を M2と
94 リ=f(x)
(4) y4リ=9(x)
すると,m」2M22であることと同値である。
ここで,f(z)=。+a, g(z)=-(z-2)?+2a+4
であるから, m,=f(0)=a, M:=g(2)=2a+4
. aS-4
すき間
0
32
-2 0/
23
よって, m」2M2により, a22a+4
(4) -2Sz<3におけるf(z)の最大値をM,, g(x)の最小値を m,とすると,
M2m2 と同値である. ①により, M」=f(3)=a+9, m2=g(-2)=2a-12
よって, M」2m2により, a+922a-12
重なり」
あり
|リ=g(x)
a<21
|リ=f(x)
○20 演習題(解答は p.63)
不等式 - +(a+2)z+a-3<y<?ー(a-1)ェ-2… (*) を考える。ただし,
I, y, aは実数とする. このとき,
「どんなェに対しても, それぞれ適当なりをとれば不等式(*)が成立する」
ためのaの値の範囲を求めよ, また
「適当なyをとれば,どんなぁに対しても不等式(*)が成立する」
ためのaの値の範囲を求めよ。
るあう
後半:yをまずェとは無
関係に決めなければなら
ない。 -
(早稲田大·人間科学)
53
