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III型
は、f(x1=0を満たし、
-(x+4)
e-(1){
e
-(x+1)
の初項b, から第
でf(x)の符号が変化するような父の
値が-2cxc2の範囲で存在するこ
e
とであるから、
-2<000.
050-2
sinno
の累乗
7nx
12
整数 N
[3] 微分法
【III型 必須問題】 (配点 40点)
aは実数の定数とし、関数f(x) を
f(x)-(a-sinx-cos x) (0<x<2)
により定める。ただしは自然対数の底であ
る。
(1) f(x)が極値をもつときの値の範囲を求
めよ、
(2) f(x) が極値を2つもつときを考える。 極値
の積が負となるとき、aの値の範囲を求めよ。
また、極値の積が1/2-3 となるときのa
の値をすべて求めよ。
【配点】
で
bm まで
(1) 14 点
(2) 26点
〈設問別学力要素>
うなの値の範囲を求めればよい。
)に代
y-2sinx
ymo
図より。 求めるαの値の範囲は,=(x)>
-2<a≤2.
(2)/(x)が極値を2つもつための条件は、
グラフ
V'(x) =0を満たし、かつ、 その前後でf'(x)
の符号が変化するようなx が 0x2
既に2つ存在することであり,(1)と同様に考
えると、そのようなαの値の範囲は、
2 <a<0.0<a<2
である.
知識
考力
大間
分野 内容
配点
小間
配点
表現力
このとき
技能 (判断力
3 微分法
40点 (1)
14
26
2
イコールだめ
I
表現
|||| ま
出題のねらい
導関数の符号の変化を正しく把握できるか,ま
また、導関数の符号の変化と極値との関係が理解で
きているかを確認する問題である。
解答
(1) f(x)=ex(a-sinx-cosx) より,
te (—cosx+sinx)
2sinx = α, すなわち, sinx=1
だから
極大
は2つの解をもち、その2解を x=dB(a<B)
とすると, f(x) は x=α, β で値をとる。
また、
より、
a+B
2
α+βπ または α+B=3.
Bα または β=3π-α.
いずれの場合も、
sinsina, cosβ=-cosa
であることに留意すると、
これが2次方程式では
f'(x)=-ex(a-sinx-cosx)
=ex(2sinx-a).
f(x) が極値をもつための条件は,f'(x) = 0
を満たし、かつ、 その前後でf'(x)の符号が
変化するようなxが0<x<2mの範囲に存在
することである。
ex0 であるから, ①より,
2sinx>a のとき,f'(x) > 0,
2sinx<a のとき,f'(x) < 0
となる.
よって、 0<x<2mの範囲において
=2sinx のグラフと直線 y=a が共有点を
もち、かつ、その共有点の前後で y=2sinx
のグラフと直線 y=aの上下関係が変わるよ
f(a)=e (a-sina-cosa),
(B)=e(a-sinβ-cosβ)
=e-(a-sina+cosa)
であるから, 極値の積は,
f(a)f(B)
=e
だった!
-(a+B) (a-sina-cosa) (a-sina+cosa)
=e(a+0)
a+n){ (a-sina)-costa}
=e-(a+b) { (a_sina)2-(1-sin'a) }
e-(a+B) (a2-1-2asina+2sina)
となる. αの定義から
sina=
が成り立つから, 3 に用いると,
-37-
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f() = ee (a-stup-n
la-sinxtco
