Question

やみー

解答についての質問で、上から二行目に解を文字で置いているんですけどここでα<=βとしているのには何か理由があるのですか？

27.2次方程式x°+(2n+1)x+n-1=0の2つの解が整数となるように,整数nの
値を決めよ.
{x gol-(x).Amil () ()
(東北福祉大)
La(s) mil 2)

27.
テーマ
整数解、
(01 東北福祉大)
x2+(2n+1)x+n-1=0の2つの整数解をα
β(α≦β) とおくと,解と係数の関係より
α+β=-(2n+1), αβ=n-1
nを消去すると,
α+β=-2(αß+1)-1
⇔α+β+2aβ=-3
⇔α (1+2β) +β=-3
⇔α(1+28)+1/2(1+28)=-3+1/2
S+
5
⇔(a+1/2)(1+28)=-127
--
⇔ (2α+1)(2β+1)=-5
α βが整数より2α+1, 2β+1も整数だ
から,これを満たす2α+1, 2β+1は
2α+1≦2β+1に注意すると
(2α+1, 2β+1)=(5,1), (-1, 5)
つまり,
(a, B)=(-3, 0), (-1, 2))
に限る.これとn=αβ+1より,
n=±1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

α≦βと置いておくと、2α+1≦2β+1が使えて場合分けを減らすことが出来るためです

　(2α+1,2β+1)=(−5,1),(5,−1),(−1,5),(1,−5)
を全て考えても解答に支障はないので、α≦βは必須というわけではないです

やみー

解説ありがとうございます！

Answer 2

みんす

２つ異なる解があるなら、必ずどちらか一方が相対的に大きくてまた一方は小さくなります。
これは分かりますよね。

ただ、α、βを求める際に、
（α，β）=（-3,0）（2,-1）となってしまっては
グラフが訳わからなくなりませんか？
添付した画像をご覧ください。

添付した画像の波線部に矛盾が生じてしまいます。
なので矛盾が生じないためにただ、そういった条件を設けているだけだと思います。

鯛のお造り

(α,β)=(2,−1)で矛盾が生じるのはα≦βと定義したからなので、α≦βとおく理由にはなってないかもですね…

みんす

確かにそうですね、ご指摘ありがとうございます。