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2
複素数 zm を
21=2+2i, 2+1=
(4-2i)z, - 4i
Z+2-4i
(n=1,2,3, ...)
で定める。
(1)
w=>
(4-21)w-4i
w+2-4i
を満たす複素数wは2つある。 これらを求めよ。
【解答】
(1)
w=
(2)(1)で求めた2つのw を α, β (0≦argα < arg β <2) とする。
Zn+1 -α = k.2-α (n=1,2,3, ...)
Zn+1-6
Zn-B
となるような実数の定数kの値を1つ求めよ。
(3) 2月 を求めよ。
(4) 2mの偏角を0 (002) とするとき, lim2"0" を求めよ。
(4-2i)w-4i
w+2-4i
のとき
w(w+2-4i) = (4-2i)w-4i
w2 (2+2i)w+4i = 0
(w-2)(w-2i) =0
w= 2, 2i
(2)α=2,β=2i である。 このとき
(4-2i)z, -4i
2n+1-α
Zn+1 - B
=
=
=
=
2
2月 +2-4i
(4-2i)z, - 4i
2i
z, +2-4i
(4-2i)2-4i-2(z+2-4i)
(4-21)z, -4i-2i(z, +241)
(2-2i)2-4 +4i
(4-4i)z„-8-8i
(2-21)z-2(2-21)
(4-4i)z, -2i(4-41)
2-2iZ-2
4-4izn-2i
よって
Zn=2.
1+()
1-
11
2
-1
=2.2"-1+1
= 2.
2"-1-i
(2"-1+1)(2"-1+i)
(2-1-1)(2-1+2)
2"(2-1 +1)+2(2"-1 +1)i
4-1+1
(4)(3)の結果より,06,<であり
22-1+1)
1
tane, =
=
2 (2-1+1) 2"-1
これより, lim tan00であり
00
lim 0 = 0
【解説】 1°
したがって
(答)
1 z-a
==
2 2-B
が得られる。 よって
k =
(答)
(3) (2)の結果を繰り返し用いると
2-2
21-2
2-2i
21-21
が得られ, z1=2+2i と合わせて
これより
2-2
z. -2 = (z.-21))"
{1-() } z = 2{1+()"}
分母,分子
に
2n+2-4i
をかける。
【解説】
分母,分子
をzmの係数
でくくる。
【解説】 2°
00
lim2"0 = lim2-2-10
→○○
= lim
20%
*- tane
= lim
On
・ 2cos0
*-C sino
= 2
1° 次のように計算することでもw を求めることができる。
w=a+bi(a,bは実数) とすれば、w² (2+2i) w+4i=0のとき
(a + bi)2- (2+2i) (a + bi) + 4i = 0
a2+2abi-b2- (2a+2bi+2ai-2b)+4i=0
a²-b2-2a+2b+(2ab-2a-2b+4)i=0
であり,実部, 虚部に注目して
[a2-62-2a+2b=0
2ab-2a-2b+4=0
が得られる。 ① より
(a-b) (a+b-2)=0
と変形できる。
(i) a-b=0のとき, ②と合わせて
a²-2a+2=0
を得るが,これを満たす実数 αは存在しない。
(ii) a+b-2=0のとき, ②と合わせて
2a(2-a)-2a-2(2-a)+4=0
2a²-4a=0
2a(a-2)=0
が得られるから, ① ② を満たす実数a, b は
(a,b) = (2.0) (02)
とわかるので.
