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-●3 ルートがらみの方程式 不等式を解く
(京都産大
(ア)(2.z-2 =1-2.zを満たす実数zの値は である。
(イ)V5-z<z+1を解け。
(ウ)不等式(3-2.r 22.zー1を解け。
(龍谷大·理系(推薦)
(東京都市大)
ルートがらみの方程式·不等式のことを,無理方程式·無理不生
図形問題を解くときにも現れる
式と言う。教科書的には数Ⅲの内容だが, 図形問題を解くときにも(解法によっては)現れること
るので,ここで練習しておくことにしよう。
解くときの注意点
*2乗すると同値性がくずれる. 例えば, A=B=→ A?=B? であるが, A?=B?#A=Ra+
(例えば、 A=-2, B=2のとき, A?=B'だが, A=Bではない). また, AZB# A?2 33であ
る(例えば、A=1, B=-2のときを考えよ).「AZB → AB'」という同値変形ができるの
は,A20かつB20のときである。両辺が0以上なら, 2乗しても同値である。
*ルートの中は0以上であり,
実際にどのようにするかは, 以下の解答で
2乗してルートを解消するが, その際に注意が必要である.
の値は0以上である。
■解答
○0のとき,右辺20により
2.ェーェ20であるから, ルートの
中は0以上であることが保証
(ア)(2.z-22 =1-2.r → 2.ェー2=(1-2.x)? 0 かつ1-2.r20
のを整理すると, 5.z?-6.r+1=0
.(r-1)(5.r-1)=0
1
れる。
1-2.r20を満たすェを求めて, x=-
5
コェ+1>/5-ェ N0により,
エ+1>0.
(イ)/5-r<ェ+1 → 5-x z0かつ ェ+1>0かつ5-ェ<(r+1)?
-1<zS5 かつ 22+3.x-4>0
-1<z<5 かつ (エ+4)(r-1)>0
コ-1<r<5のとき, エ+4>0
(ウ)/3-2r >2.r-1…① のとき, 3-2.cN0
3
IS-
2
1° 2かつ 2.z-1<0, つまり ェくうのとき, ①は成り立つ。
介日の右辺の符号で場合分け. @
のとき,①の右辺<0なら①は成
2
1
3
2° 2かつ 2.z-120, つまり 名zハ%のとき, ①の両辺を2乗しても
立。
2
2
同値で、
3-2.z2(2ェ-1)?
: 2.22-ェ-1ハ0
4.z2-2.ェ-2<0
:(2ェ+1)(e-1)<0
1であり。zs とから、ら1
3
よって -
2
1°, 2°により, 答えは, x<1
3 演習題(解答は p.55)
(ア)方程式(z?+/z +z-l=0を解け。
(イ)不等式V3.?-12 Sz+4を満たすェの範囲を求めよ。
(ウ)不等式(4.ーz" >3-xを満たすェの範囲を求めよ。
(札幌学院大)
(明治大·理工)
ルートの中は0以上, な;
どに注意して解いてい
く。
(学習院大·理)
3-2
1
く-を満たす』の値の範囲は
(エ)
2r
である。
(関西医大)
