6 自然数 7 」 mn に対し と ヵ の最大公約数を gcd(7。 7) で表す.
以下ははユークリッドの互除法を用いた最大公約数の求め方である、
、 ユークリッドの互除法
が れ を m>れを満たす自然数とし, =ニカ, 72 ニルバ とおく. 7 を
75 で割った商を g, 余りをra (0 S 7a <7o) とする. もし 7a郊0な
らば 7。 を ra で割った商を ga』, 余りを (0 74 < ra) とする. この
考順を ヵー1 回繰り返したとき, 余り rkr1 が 0 になれば, 次の関係式
が成り立つ.
mm
72 ニカ
mmニ72・の填73 (0<7s <75)
75三7s・93十74 (0 <74 く73)
ココ7k (0 く7くっ)
7k・9k
n の最大公約数について,
gcd(75, rs) = gcd(7s, 7)
三 gcd(7k_, 7k) 7
aal に堆メサ +八7(
jr 7フィ7
放/ 2の2x 277 の
9・ な267T由 浅 飲/
ウッ0 6
2 ウル 5 5
5
2
(4) 吉> を満たす
(3) "すべての自然数 と ヵ に対し, cg。 と 10 は互いに素である. こ
のことと (2) の結果を用いて, の > 7 を満たす自然数 7 ヵ に対し,
gCd(G, ga。) = god(G』, gm-n) が成り立つことを示せ.
とn の最大公約数を す とすると。 om。と
の最大公約数は c。 でもることを示せ. ただし, 必要であれば, 梓
で囲まれたユークリッドの互除法の説明文で使用されでいる記号を用
いてもよい.
か=する
k-dg /z.972を系 メ>97
2
