要 例題 176
2 曲線が接する条件
275
00000
2つの放物線y=x2 と y=-x-a)2+2がある1点で接するとき、定数a
の値を求めよ。
CHART & SOLUTION
[類 慶応大] 基本174,
重要 177
2曲線 y=f(x), y=g(x)がx=pの点で接する条件
f(b)=g(b) かつf'(b)=g'(b)
「2曲線が接する」とは,1点を共有し、かつ共有点における接線
が一致すること(この共有点を2曲線の接点という)。
接点のx座標をとおいて
y=f(x)/
y=g(x)
接点を共有する
⇔f(b)=g(p)
接線の傾きが一致する⇔f'(p)=g'(p)
を満たすαの値を求めればよい。
解答
p
x
LKR
が成り立つ。
よって
2p=-2p+2a
f(x)=x2, g(x)=-(x-a)+2 とすると
f'(x)=2x, g'(x)=-2x+2a
2曲線が1点で接するとき, その接点のx座標を とすると
f(p)=g(p) かつ f'(p)=g'(p)
p2=-(-a)+2
g(x)=(x-α)2+2
=-x2+2ax-a²+2
f(p)=g(p)
・接点の座標が一致
f'(p)=g'(p)
xS=\
R
接線の傾きが一致
を意味する。
②から
a=2p
これを①に代入して
③
p²=-(p-2)²+2
=2+2から
ゆえに
これを解いて p=±1
③から,αの値は
原
p=1のとき α=-2,
p=1 のとき a=2
p-xpS=1-
よって、
真の方
y
ly=f(x)
a=-2
共通
を
ly=f(x)
NOTH
y=g(x)
1
x
x
y= g(x) S
0
1,0=0
inf 接点の座標は
a=-2 のとき (-1, 1)
α=2のとき (11)
接線の方程式は
a=-2 のとき
y=-2x-1
a=2のとき
y=2x-1
られた
