1枚目と2枚目で場合分けをする時としない時の違いを教えてほしいです。

000 198 基本 例題 122 三角形の解法 (1) 次の各場合について, △ABCの残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。 (2)6=2,c=√3+1, A=30° (1) a=√3,B=45°,C=15° CHART & SOLUTION 三角形の辺と角の決定 2角と1辺 → 正弦定理 ① 2辺とその間の角 余弦定理 MOTL まず、条件に沿った図をかき, 位置関係をきちんとつかむことが重要。 (1)最初に A+B+C=180° からAを求め, 正弦定理からőを求める。 (2) 最初に余弦定理からαを求める。 解答 (1) A=180°-(B+C) =120° 基本 120 121 c2+√2c-1=0 を解いて C= c>0であるから √6-√2 c= 2 (2) 余弦定理により (√3)²=(√2)2+c2-2√2ccos 120° √2+√6 2 SA b 15° 別解 (1) (後半) 正弦定理により √3 b 645° sin 120° sin 45° B √3 C を用いると よって b= √3 sin 45° sin 120° b2=c2+α2-2cacos B c2-√6c+1=0 から =√2 余弦定理により √√6±√2 C= 2 B>C であるから 6>c √6-√2 よって c= 2 A 別解 (2) (後半) a b 30% √3+1 sin A を用いると sin B 2 1 sin B= a √2 ゆえに B=45° B a C α2=22+(√3+1)-2・2(√3+1) cos 30° =4+(4+2√3)-2√3(√3+1)=2 pa>0であるから 余弦定理により cos B= a=√2 (√3+1)+(√22-22 2(√3+1)√2 2(1+√3) 1 = 2√2 (√3+1) 2 ゆえに B=45° よって C=180°-(A+B)=105° 2+2√3 2√2 (√3+1) bsin A 135° a<b<c であるから, ∠Cが最大角。 よって B=45° √3+1で約分できるよ うに変形。 linf. 与えられた三角形の 辺や角から、残りの辺や角 の大きさを求めることを 三角形を解くという。 PRACTICE 122°

画像にも書いたのですが、 不等号が≦になるときと、＜となるときの違いがわかりません。 初歩的な質問だと思うのですが、教えてもらえると助かります

UB 基本 例題 38 不等式で表される集合 C00000 実数全体を全体集合とし,A={x|-2≦x<6},B={x|-3≦x<5}, C={x|k-5≦x≦k+5} (kは定数) とする。 (1)次の集合を求めよ。それぞれ求め (ア) ANB (イ) AUB (2) ACCとなるkの値の範囲を求めよ。 toks (ウ) B (エ) AUB ( p.68 基本事項 CHART & SOLUTION 不等式で表された集合の問題 数直線を利用 集合の要素が不等式で表されているときは、集合の関係を数直線を利用して表すとよい。 その際、端の点を含む(≦,≧) ときは ● で ・P・ 含まない (<, > ) ときは○ で表しておくと,等号の有無がわかりやすくなる (p.55 参照)。 例えば,P={x|2≦x<5} は右の図のように表す。 2 5 71 解答 (1) 右の図から (ア) A∩B={x|-2≦x<5} (イ) AUB={x|-3≦x<6} (ウ) B={x|x<-3,5≦x} P (ｴ) AUB={x|x<-3, -2≦x} (2) ACCとなるための条件は k-52 ・B -B- ・A -3-2 56 x k-5-2 -A- (e a)=80A (1) ■文の等式を ◆補集合を考えるとき 「端の点に注意する。 の補集合は ● ●補集合はO ◆ k=1のとき x C={x|-4≦x≦6} 6 k+5 E. SN)=8(e)k=30 Cats (es) C={xl-2≤x≤8} ① 6 k+5 ...... ② が同時に成り立つことである。 ①から k≤3 共通範囲を求めて ②から 1≤k 1≤ k ≤3 であり,ともにACC ② を満たしている。 INFORMATION SA (2) において, C'={x|k-5<x<k+5} であるとき, ACCとなるための条件はk-5<-2 かつ 6≦k+5 すなわち, 1≦k<3 となる。 等号の有無に注意しよう。 lea k-5-2 A 6 k+5 この不等号はどうやって決定する? PRACTICE 38° [

データのところです。 この式の＋1がわかりません。なぜ1を足しているのでしょうか

基本例 231 値からデータの決定 ①①①①① 次のデータは,ある6店舗での精米1kgあたりの価格である。 ただし, αの 値は0以上の整数である。 500 490 496 530 480a ( 単位は円 ) (1) αの値がわからないとき,このデータの中央値として何通りの値があり うるか。 (2)このデータの平均値が502円であるとき, αの値を求めよ。 CHART & SOLUTION 中央値 データを大きさの順に並べた中央の値 p.228 基本事項 2 (1) データの大きさが 6 (偶数) であるから, 中央値は小さい方から3番目と4番目の値の 平均値である。 まず, α 以外のデータを大きさの順に並べてみる。 解答 (1) データの大きさが6であるから, 中央値は小さい方から3番目と4番目の値の平 均値である。 α 以外の価格を大きさの順に並べると 480, 490,496,500 530 [1] a≦490 のとき 490 +496 中央値は. 2 =493の1通り。 [2] 491≦a≦499 のとき [1] a, 480,490,496,500,530 480, a, 490, 496, 500, 530 [2] 480,490,a,496,500,530 480, 490, 496, a, 500, 530 a +496 a 中央値は = +248 2 2 aは、 499-491+1=9通りの値をとりうるから, αが491以上499 以下の整数値 をとるとき,の値はすべて 中央値も通り。 [3] 500≦a のとき 496+500 中央値は, =498の1通り。 2 以上から、中央値は 1+9+1=11 (通り) 異なる。 [3] 480,490,496,500, a, 530 480, 490,496,500,530, a if 中央値は, xを整数とする の値がありうる。 とき (2)平均値が 502 円であるから x+496 2 (490≤x≤500) a + 480 + 490 + 496 + 500 + 530 とまとめることができる。 -=502 これから500-490+1=11 (通り)

この問題で、なぜ恒等式と考えて解き進めていくのかがわかりません。思考プロセスを教えてほしいです。

28 基本 例題 76 定点を通る直線の方程式 直線(4k-3)y=(3k-1)x-1. を通ることを示し,この点Aの座標を求めよ。 ・①は,実数kの値にかかわらず, 定点A 00000 ●基本18 CHART & SOLUTION どんなんについても成り立つ ...... kについての恒等式 方針①kについて整理して係数比較 (←係数比較法) (←数値代入法) に適当な値を代入 方針② ?kの値にかかわらず通る→kの値にかかわらず直線の式が成立 →kについての恒等式 p.36 基本例題18 で学習した恒等式の問題解法の方針で解いてみよう。 解答 方針① 直線の方程式をkについて整理すると Cのか (3x-4y)k-(x-3y+1)=0 . I' 係数比較法 ①' が実数の恒等式となるための条件は 3x-4y=0, x-3y+1=0 これを解いて x= 4 5' 3 + k y= このとき, ①'はんの値にかかわらず成り立つ。 よって,①'はkの値にかかわらず定点A(163,233)を通る。 5 方針 ② k=0 のとき, ① は 整理すると x-3y+1=0 k=1 のとき, ① は (4·0-3)y=(3・0-1)x-1 (4・1-3)y=(3・1-1)x-1 ...... ② kf+g=0 がんの恒等 式⇔f=0,g=0 inf. 次の基本例題77で 学習するように,'は, 2 直線 3x-4y=0, x-3y+1=0 の交点を通る 直線を表すから,これら2 直線の交点が定点Aである。 ←数値代入法 に適当な値を代入 x,yの係数を0にする 整理すると 2x-y-1=0 ③ k= k= 2直線②③の交点の座標は (12/3) 4 5' 5 を代入してもよい。 必要条件。 逆に,このとき ◆十分条件の確認。 12 (①の左辺) = (4k-3)・ 9 = -k 5 5 5 (①の右辺 = (3k-1)/14-1=1/23k-123 13 A 35 9 5 ゆえに,①はんの値にかかわらず成り立つ。 よって,①はkの値にかかわらず定点A(1,2)を通る。 3 To 4 x +45

数Bです。画像の赤の線で引いているところがわからないです。40²からなにを判断しているのでしょうか？解説よろしくお願いします🙇‍♀️

重要 例題 24 群数列の応用 1 1 3 1 3 5 1 3 5 1 7 ...... 数列 1 2'2' 3'3'3'4'4'4'4'5' ・について うにし 5 (1) は第何か。 毎回(2) この数列の第 800 項を求めよ。 基本23 (3)この数列の初項から第800項までの和を求めよ。 CHART & SOLUTION 群数列の応用 1 数列の規則性を見つけ、区切りを入れる ② 第群の最初の項や項数に注目 分母が変わるところで区切りを入れて群数列として考える。 (1),(2)は,まず第何群に含ま れるかを考える。 (2) では,第 800 項が第n群に含まれるとして次のように不等式を立てる。 群 第1群 第2群 第3群 個数 1個 2個 3個 第 (n-1) 群第n群 (n-1) 個 n1 第800項はここに含まれる →第(n-1) 群の末頃までの項数 <800≦第n群の末頃までの項数 (3) は,まず第n 群のn個の分数の和を求める。 1 1 31 3 51 3 5 71 12'23'3 34'4'4'45' のように群に分ける。 (1)は第8群の3番目の項である。 ま ←第n群の番目の項は 2m-1 n + k +3 = 12.7. ・7・8+3=31 であるから 第 31 項 k=1 n-1 n ← ① で n=8,2m-1=5 2kは第7群までの項数 k=1 (2)第800 項が第n群に含まれるとすると Σk <800≦群までの項数は よって (n-1)n<1600≦n(n+1) k=1 n k=1 39・4016004041 から, これを満たす自然数nはn=401600402 から判断。 = 1 k=1 (3) 第n群のn個の分数の和は(2k-1) - 39 800-k=800- ･･39・40=20 であるから 39 40 • n² = n n ゆえに,求める和は k + (1 39 3 5 39 + + + k=1 40 40 40 40 39.40+ 20 1 1 402 ・20(1+39)=790 DRACTICE 210 nの不等式を解くので はなく見当をつける。 ←①でn=40,m=20 k=1 (2k-1) =2. • ½n (n+1)—n=n² 1から始まるn個の奇 数の和は? これは覚 えておくと便利である。

⑴はわかるのですが、⑵がわかりません。解説お願いします。

152 ① 9/4(1)×(2)× 基本 例題 91 不等式が常に成り立つ条件 (絶対不等式)○○○○○○ (1) すべての実数xについて、不等式 x-ax+2a>0 が成り立つように, 定数 αの値の範囲を定めよ。 D [東京電機大] (2) すべての実数xに対して、 不等式 kx2+(k+1)x+k≦0 が成り立つよう な定数kの値の範囲を求めよ。 CHART & SOLUTION dp.146 基本事項 2 MOITUJO 2 & TRAD

解と係数の関係(二次式、三次式どちらも)の照明をお願いします

a=0の場合は考えなくていいのですか？定義域の両端が≦なのでx=0もあり得るのかなと思ったのですが

x=0x=a 値が変わるので場合分けが必要となる。 致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。 よって、定義域 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に (1)y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, 軸からの距離が遠いほどyの値は大 きい (p.110 INFORMATION 参照)。 112 基本 例題 63 定義域の一端が動く場合の関 は正の定数とする。 0≦x≦a における関数 f(x)=x2-4x+5 について p.107 基本事項 21. 基本60 (1) 最大値を求めよ。 求 (2) 最小値を求めよ。 CHART & SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大・最小 軸と定義域の位置関係で場合分け 定義域が 0≦x≦a である から、文字αの値が増加する と定義域の右端が動いて,x の変域が広がっていく。 したがって,αの値によって,. 最大値と最小値をとるxの 軸 テーオー 区間の 右端が 動く 113 (1)定義域 0xha の中央の値は1である。 [1] 0 < < 2 すなわち 0<a<A のとき 図 [1] から, x=0 で最大となる。 最大値は f(0)=5 [1]軸が定義域の中央 x=1/2より右にあるか ら、x=0 の方が軸より 違い。 よってf(0) >f(a) 区間の 右端が 動く 10 [2]軸が定義域の中央 x2 [2] 1=2 すなわち a=4 のとき 図[2]から,x=0, 4 で最大となる。 最大値は f(0)=f(4)=5 [2] x= 最大 最大 d x=0 x=a x=0 ロー x=a x=0 x=4 ロー [3] 2< 1/2 すなわち 4<a のとき 図 [3] から, x=αで最大となる。 最大値は f(a)=a-4a +5 [3] x = 1/2 に一致するから、 軸とx=0,α(=4) との 距離が等しい。 よってf(0)=f(a) 最大値をとるxの値が 2つあるので,その2つ の値を答える。 [3]軸が定義域の中央 最大 x = 1/2 より左にあるか ら、x=αの方が軸より 遠い。 ニス大 [1] ~ [3]から [1] 軸が定義域の 中央より右 [2] 軸が定義域の 中央に一致 軸 定義域の両 端から軸ま での距離がDi [3] 軸が定義域の 中央より左 軸 等しいとき [最大] [[] T 最大 最大 最大 定義域 の中央 定義域 の中央 下に合 <D 定義域 の中央 0<a<4 のとき x=0 で最大値 5 a=4 のとき x = 0, 4 で最大値5 a4 のとき x=αで最大値α-4a+5 (2) 軸 x=2 が定義域 0≦x≦αに含まれるかどうかを考える。 [4] 0<a<2 のとき [4]軸が定義域の右 るから 軸に近 の右端で最小と x = 0 x=a よってf(0) <f(a) 答えを最後にまとめて 書く。 x=2x2 (2)y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから,軸が定義域 0≦x≦αに含まれてい れば頂点で最小となる。 よって, 軸が定義域 0≦x≦α に含まれるか含まれないかで場合 分けをする。 [4] [5] 軸が定義域 の外 軸が定義域 の内 牛の [4] 図[4]から、x=αで最小となる。 最小値はf(a)=α-4a+5 [5] 2≦a のとき 最小 [5]軸が定義域 図 [5] から, x=2で最小となる。 最小値は f(2)=1 x=a 頂点で lx=2 [5] [4],[5] から 0<a<2 のとき x=αで最小値 α-4a+5 最小 最小 a≧2 のとき x=2で最小値1 x=a 最小 答えを最 書く。

この問題の赤線を引いた、囲ったところなのですが、なぜこの確認をする必要があるのでしょうか。 [2]ではkの値を出して終わっているのになぜ[1]ではこの確認が必要なのか疑問に思いました。 教えていただきたいです。 見えづらかったら申し訳ないです🙇‍♀️

基本 例題 26 比例式の値 比例式は比のかんけいを表す(値 ではどんな色でも立って ののののの 47 y+z=z+x x y 2 x+yのとき、この式の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 比例式はんとおく 基本 25 1 4 式・不等式 等式の証明ではなく,ここでは比例式そのものの値を求める。 y+z=z+x x xx+y=kとおくとy+z=xk, z+x=yhx+y=k y Z この3つの式からの値を求める。 辺々を加えると, 共通因数x+y+z が両辺にできる。 これを手がかりとして, x+y+z またはkの値が求められる。 求めたんの値に対しては, (母)≠0(x0,y=0, z≠0) を忘れずに確認する。 円 分母は0でないから くための 条件が ではない a÷0 xyz=0 →は答えが1つに定まらない存在しな y+z_z+x_x+y=kとおく刺が成三角比とか x y ◎立つことを言うとおける/ x2=03-y+z=xk...①, z+x=yk…②, x+y=zk ③ ①+②+③ から 2(x+y+z)=(x+y+z)k よって (k-2)(x+y+z=0→どちらからみないから =2または x+y+z=0のときにもんだいの式が ゆえに しか [1] k=2のとき x=y=zとなる y+z=2x... ④,z+x=2y から かつ y=0 かつ z=0 ←xyz≠0 x=0 減り立たないと答えが営まらな SKとおけない(定数) x+y+zが0になる可 能性もあるから,両辺を 11 45-1-5 50:50 20=0=0. 切り立つ場合分ようこれで割ってはいけな い。 びた①、②、③からこ Z+X xy y=2 が成り立つ=kの値 正しい -y+2 ④⑤から ⑤ x+y=2z でな y-x=2x-2y (6) ⇒立つ したがって これを⑥ に代入すると x+x=2z よってx=z い よって x=y おにん ①何も残 牛の x=y=z こうしないと与式がなりた もんだい) なぜこの証明がいるのか x=y=z かつ xyz = 0 を満たす実数x, y, z の組は存在する。例えば x=y=z=1 Q [2] x+y+z=0 のとき 条件式 y+z=-x よって k=y+z=-x=-1 x x 例えば, x=3, y=-1 →xy、2が0以外2=-2 など,xyz≠0 の時に成立つというかつ x+y+z=0を満 2.1 逆にこれかがたす実数x, y, zの組は り立たなかったら存在する。 I. [1], [2] から, 求める式の値は INFORMATION はの時でしか成り立たな 循環形の式について なってしまうから。 ①~③の左辺は,x,y,zの循環形(x→y→z→x とおくと次の式が得られる) に なっている。 循環形の式は、上の解答のように, 辺々を加えたり引いたりするとうま くいくことが多い。 一般には, 連立方程式を解く要領で文字を減らすのが原則である。

まず三行目なぜ2分の√3倍なのか、 そして、七行目のa 1求める式はどこからきたのですか？

4 8/6× 基本 例題 36 図形と漸化式 (2) ( 右の図において, ∠XOY = 30°, OA1=2, OB1=√3 とする。 ∠XOYの2辺 OX, ・・・および点 OY上にそれぞれ点 A2, A3, B3 B2 00000 B₁ Y B2, B3, を 「B1A2, B2A3, B3A4, 30° 0 はすべて OXに垂直であり A2B2, A3B3, A4 A3 A はすべてOY に垂直」 であるようにとる。 △ABAn+1 の面積を an とするとき, 数列{an} の, 初項から第n項までの和 を求めよ。 CHART & SOLUTION 前ページの例題と同様に, an と αn+1 の関係について考える。 基本 29 35 △An+1Bn+1An+20△ABA+1, 「相似な図形の面積比は,相似比の2乗に等しい」を利用 する。 ① △An+1BnBn+1, △BnAn An+1 はともに, 3つの内角が30℃ よって 60° 90° であるから √3 2 An+1Bn+1= -An+1Bn, An+1Bn= √3 2 -AnBn () 130 3 An+1Bn+1 = (2) =(√3) A„B = A„Br AnBn= -AnBn 4 △An+1Bn+1An+2∽△AnBnAn+1 であるから 32 2AA 3 9 Baty an+1= an= -an 16 30° 1= = また,.= 1/2AA AB-12.12 より数列 1√3/3 0- 2 8 A+2 A+ As An+1B+1=AB から, √3 4 {an} は初項 公比 9 8 の等比数列であるから, 求める和は 16 相似比は4:1 √3 8 {1-(1)"} 9 16 23 9 1- 2/11 (1) 7 9 16 ゆえに、面積比は 12 (4):1 16 PRACTICE 36Ⓡ a) A AC=2, BC=3, ∠C=90° の直角三角形ABCの内部に, 図のように正方形 D1, Dz, D3, を次々に作る。 正方 D₁ D2