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基本例 54 平面上の点の移動と反復試行
右の図のように、東西に4本, 南北に5本の道路がある。
地点Aから出発した人が最短の道順を通って地点B へ
向かう。このとき,途中で地点Pを通る確率を求めよ。
ただし、各交差点で、東に行くか、 北に行くかは等確率と
し、一方しか行けないときは確率でその方向に行くも
A
のとする。
指針
求める確率を
とするのは誤り!
A→P→Bの経路の総数
A→Bの経路の総数
これは,どの最短の道順も同様に確からしい場合の確率で、 本間は道順によって
が異なる。
例えば, A111→→P→→Bの確率は
11/12/12/01/21-1-1-1-1/23
·1·1·1·1=
から,
8
A→1→11PBの確率は
1.1.1.1.1
·1·1=
2 2 2 2 2
したがって,Pを通る道順を, 通る点で分けて確率を計算する。
1
32
1 3 6
+
+
8 16 32
C2X22
Ca
右の図のように, 地点 C, D, C', D', P'をとる。
解答 P を通る道順には次の3つの場合があり,これらは互いに
排反である。
[1] 道順A→C→C→P
この確率は1/2×1/2×1/1/2×1×1 (12)-1/23
1=
8
TUSCO
[2] 道順A→D'→D→P
この確率は sc.(1/2)(12/2)×1/2/3×1=3(12/11/16
[3] 道順A→P'→P
この確率は(1/2)^(1/2)×1/28=6(1/21) 2
=
よって, 求める確率は
6
32
16 1
32 2
10000
基本 52
C DP
C D P
A
C' D P
[1] 111
[2] ○○○と
○には、1個と
入る｡
[3] ○○○○
○には、2個と
入る｡
=
