AABC において, AB=4, AC=5, BC=6とし, 外心を0とする。AGを
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重要例題28 外心の位置ベクトル
(類早稲田大)
ACを用いて表せ。
指針>三角形の外心は, 各辺の垂直二等分線の交点であるから, 右図の
AABCの外心Oに対して
これをベクトルの条件に直すと
よって, Aō=sAB+tAC として AB.MO=0, AC·NO=0から
ABIMO, ACINO
ABIMO, AC」N6
M
B
S, tの値を求める。
解答
辺 AB, 辺 ACの中点をそれぞれ M, N とする。
ただし,△ABCは直角三角形ではないから, 2点M, N はと
4最大辺は BCであり
BC*キAB+AC
もに点0とは一致しない。
点0は△ABCの外心であるから
ABIMO, ACINO
AB-MO=0, AC.NO30
AO=sAB+tAC (s, tは実数)とすると, AB·M0=0から
(*)直角三角形の外
(外接円の中心)は、
点と一致する。
ゆえに
AB-(AO-AM)=0
AB+tAC}=0 ……
の
また, AC-NO=0から
AC-(AG-AN)=0
ゆえに AC-AB+(1-号)AC|=0
BCF=|AC-ABF=|ACf-2AB·AC+|ABP
6°=5°-2AB-AC+4°
ここで
よって
AB-AC=;
5
ゆえに
2
よって, ① から
(s-号)×#++x3-0
S
S
すなわち
32s+5t=16
3
+tAB-AC=0
また。 ②から a×号+(-号)×ダ-0
SX
SAB-AC
すなわち
s+10t=5
3, ④ から
3
16
t=
7'
S=
35
したがって
16
-AB+
17
3
A0=
AC
35
関1のよう
