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絶対値記号を含む方程式・不等式
|x-2|+|x-5|≦5 を満たす実数xの値の範囲を求めよ.
のが基本です.
|A|は,
絶対値記号は,
A≧0 のとき A
A <0 のとき-A
つまり,
場合分けしてはずす
となります.
ですから、 |x-2|は,
に注目し,
x-2≧0のとき -2
x-2<0のとき-(x-2)
x≧2のときx2
<2のときx+2
というように, 場合に分けることによって絶対値
記号をはずすことができます.
本問では, |x-2|, |x-5| が登場しているので
æ-2の正負, æ-5の正負
で場合分けをすることになります。
したがって,
が2より大きいか小さいか
が5より大きいか小さいか
(I) <2のとき
(ⅡI) 2≦x<5のとき
(Ⅲ) 5≦xのとき
(I)
2
(II)
5
(III)
T
の3つの場合に分けて調べていくことになります
( 東京理科大 )
絶対値記号をはずさなくても
解決できることもあるが､絶
対値記号をはずさないと解決
できないことが多い
・解法のプロセス
|x-2|+|x-5|≦5
↓
絶対値記号をはずす.
↓
x-2 æ-5 の正負で場合分け
する.
↓
と2,²と5の大小に注目す
る.
・実数全体を.
(1) x<2
(ⅡI) 2≦x<5
(III) 5≤x
の3つの範囲に分けて調べる
|x-2|+|x-5|≦5
(1) x<2のとき,
|x-2|=-(x-2)=-x+2
|x-5|=-(x-5)=-x+5
であるから, ① は,
-x+2+(-x+5)≦5
整理して, -2x≦-2
よって, x≧1
x<2であるから,
1≦x<2
(II) 2≦x<5のとき
|x-2|=x-2
|x-5|=-(x-5)=-x+5
であるから, ①は,
x-2+(-x+5)≦5
整理して, 0x≦2
よって, xはすべての数.
2≦x<5であるから,
2≦x<5
(II) 5≦xのとき,
|x-2|=x-2
|x-5|=x-5
であるから, ① は,
x-2+x-5≦5
整理して, 2x≦12
よって, x≦6
5≦x であるから,
5≤x≤6
解答
◆ 絶対値記号を場合分けしては
ずす
2
x
x≧1 とx<2の共通な範囲
x2のとき
15222
2≦x<5のとき
2≦x<5
(I), (ⅡI), (Ⅲ) より ①を満たすxの値の範囲は、
1≤x≤6
5≦xのとき
5≦X≦G
5≤xx≤6
共通な範囲
