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ベクトルと図形
オイラー線
例題 357
(1) **
△ABCの外接円の中心を0とし、頂点A, B, Cの点Oを基点とする位
ベクトルを、それぞれ a, 6, ことする. 位置ベクトル h=a+b+c で
(2) ***
表される点をH, △ABCの重心をGとするとき, 次の問いに答えよ.
(2) 点Hは△ABC の垂心であることを示せ .
(1) 3点O, G, H は一直線上にあることを示せ.
考え方 (1) 3点 0, G, Hが一直線上にある OH = OG (kは実数) の形で表せる
(2) 点Hは△ABCの垂心 AH⊥BC, BHICA
つまり, AH･BC=0, BH・CA=0
また, 点は外接円の中心だから,|a|=||=|c|
(1) OH=a+b+c, OĞ= 3(a+b+c) £9,
OH = OG の形て
表せた。
よって, 3点O, G, Hは一直線上にある.
OG: GH = 1:2
(別解) GH = OH-OG
OH-OA+OB+
=(OA+OB+OC)-OG
=3OG-OG=20G
よって, 3点 0, G, H は一直線上にある。
|OG=1/(a+b+
(2) 点Oは△ABCの外心だから,
la|=||=|0|
A
AH+0, E
しても一般性
AH･BC=(OB+OC)・(OC-OB)
=(c+b)(c-b)
=101-16-0
よって,
AH BC=0
B
BH･CA = (OA+OC
:OẢ-0Ỏ)
= (a + c) (a-c)
C
=la²-c²=0
よって,
BH･CA = 0
以上より, AH⊥BC, BHICA だから, 点Hは
△ABC の垂心である.
HO
G
O
