H
ない
個
3 次のように定義される数列{anがあります。
2
4 確率 数列
a=-1, an+1=an+2nan-2 (n=1, 2, 3, ......)
これについて,次の問いに答えなさい。
(1) az, a3を求めなさい。
(2)第n項an を推測し, それが正しいことを証明しなさい。
【解き方】
2
(1) az=a2+2a1-2= -3, ag=a2+2・2a2-2=-5
a2= -3,ay=-5
解答
(2) (1) から, an = -2n+1と推測できる。
I.n=1のとき,a = -1であり,成り立つ。
Ⅱ.n=kのとき,k=-2k+1と仮定すると
ak+1=ak+2kak-2=(-2k+1)^+2k (-2k+1)-2
= -2 (k+1) +1
よって, n=k+1のときも成り立つ。
I. II から, 数学的帰納法によりすべての自然数nについて
a = -2n+1が成り立つ。
したがって, an=-2n+1である。
(証明終)
an= -2n+1
解
にがり立つなら、
2
