なぜn<＝kがいるんですか？

例題 B1.64 n≦k を仮定する数学的帰納法 **** +am²)=nanan+1 数列{a} はすべての自然数nに対して,3(a'+a2+ を満たし a=2 である.このとき,一般項 α, を推測し,これを証明せよ。 素 「考え方」 まずは具体的に書き出して一般項 α, を推測し,それが正しいことを数学的帰納法で 証明する.n=k のとき,3(a +α++α)=kakak+1となり,推測した an 解答 (n≦k) を a,a2, のため, a, A2, ...., ak に代入して ak+1のときも成り立つことを示せばよい. そ のすべてを仮定する必要がある [ 3(ai'+az² +....+am²)=nanan+1 ① で n=1 とすると, ・① とおく. 3a²=1 a1a2 a=2より, a2=6 ①で n=2 とすると, 3(ai2+a22)=2a2a3 wwwwwww a=2, a2=6 より a3=10 ①で n=3 とすると, 3(ai'+a2+a3)=3a3a4 す = a=2, a2=6, a=10より, a=14 したがって、数列{a} は,初項 2,公差4の等差数列、つ まり 一般項an は, an=2+(n-1) ・4=4n-2 と推測できる. …② ついて考え を計算する。 ②を数学的帰納法で証明する. (I) n=1のとき, a1=4・1-22 より ②は成り立つ . (II)n≦k を満たすすべての自然数nについて ②が成り立 つと仮定すると, ae=4l-2 (l=1,2, ①で n=k とすると, 3(a^2+a2+....+a)=kakak+1 k k) ・③ (③の左辺)=32(4e-2)=32(160-16ℓ+4) l=1 l=1 =3/16.12k(k+1)(2k+1)-16-1/2k(k+1)+4k} =k{8(k+1)(2k+1)-24(k+1)+12} =4k(4k²-1)=4k(2k+1)(2k-1) ・④ (③の右辺)=k(4h-2)ak+1=2k(2k-1)ak+1 を作るのがポイ 1を代入す a,a2,......, ak に ついての仮定が必要 になる. ・⑤ これにより ak+1 ④ ⑤より 4k(2k+1)(2k-1)=2k(2k-1)ak したがって, ak+1=2(2k+1)=4(k+1)-2 となり, n=k+1 のときも②は成り立つ. (I), (II)より、すべての自然数nについて, an=4n-2 2k (2k-1)(0) 両辺を割る. 第1

⑵の問題なんですが、⑴で求めたa nを使ってΣで求めるのはダメなんですか？

例題 B1.62 一般項を推測し数学的帰納法で証明(2) **** 数列{a} があって q=1, a2=2であり、連続する3項aman+1, an+2 はが奇数のとき等比数列をなし, nが偶数のとき等差数列をなす. (1) an を求めよ. (2) a1 から a2n までの総和を求めよ.

[2]の4行目はなんでこんな式になるんですか？2k-1がいらないと思いました。

例 数学的帰納法によって,次の等式を証明する。 5 12 1+3+5+... +(2n-1)=n ① [1] n=1のとき 左辺 = 1, 右辺=12=1 10 よって, n=1のとき①は成り立つ。 [2] n=kのとき①が成り立つ,すなわち 10 1+3+5+....+(2k-1)=k ②と仮定する。 n=k+1のとき ① の左辺は,② により 1+3+5+....+ (2k-1)+{2(k+1)-1} =k+{2(k+1)-1} 15 =k2+2k+1 =(k+1)2 33 (A) すなわち Send(1+3+5++ (2k-1)+{2(k+1)−1}=(k+1)² よって, n=k+1 のときにも ① は成り立つ。 15 20 20

[1]で、なぜ左辺🟰1になるんですか？

例 数学的帰納法によって,次の等式を証明する。 12 1+3+5+······+(2n-1)=n² ***. (1 [1] n=1のとき 左辺 =1,右辺 =12=1 よって, n=1のとき①は成り立つ。 [2]n=kのとき ①が成り立つ,すなわち 1+3+5 + 2

数列、数学的帰納法の問題です 写真の、(Ⅱ)の部分の計算式の最後(k>=1 より)がわかりません この式はどこから出てきましたか？

すべての自然数nで 3+13 +2 ...... (*) (*) が成り立つことを. 数学的帰納法で示せ. 精講 数学的帰納法の (II) の部分では, 「n=kのときに成り立つ」という ことを仮定した上で,「n=k+1のときに成り立つ」という結論を 示すという「証明問題」を解くことになります.つまり,数学的帰納法は証明 問題の中で別の証明問題を設定して解いているという, 少し複雑な構造をもっ 複雑な構造 ていることをきちんと理解しましょう. > 解答 (I) n=1のときに(*) が成り立つことを示す。きもで 左辺 =31+1= 9. 右辺 = 3・1+25(水) より, 左辺> 右辺なので,示せた. (II) n=k のとき, (*) が成り立つと仮定する. すなわち 3 +13 +2 ...... ① ････①成り立つとしてよい式 仮定 このとき, (*) で n=k+1とおいた式 3k+2>3(k+1) +2 ...... ② ②示すべき式 結論 が成り立つことを示す. ②の左辺) (② の右辺) =3+2-3(k+1)-2 このままだと =3.3k+1-3(k+1)-2 ここで①の 仮定を使う 計算できない」 >3(3k+2)-3(k+1)-2 ① の仮定を使うと ②が成り立つことが示せた. た。 明できれば、 れば、「-」 (I), (II)より, すべての自然数nで (*) は成り立つ. =6k+1>0 (k≧1 より) 計算ができる形に

(１)解き方教えてください！🙇🏻‍♀️

1 2 3 漸化式と数学的帰納法 AAAA 演習 74 次のように定められる数列{an} の初項から第5項までを求めよ。 □ (1) a1=1, an+1=an+3 □ (3) a1= 0, an+1=an+n3 □ (5) a1= 1, an+1=2an+n □ (2) a1=1, an+1=2an □ (4) 1=1, an+1=2ax+3 08 PY

数学的帰納法の問題について質問です。解答は2枚目と3枚目の写真なのですが私は4枚目のように解きました。私は違う解き方で解いたのですがこれでも正解ですか？自分では分からないのでどなたかこれで正解かどうかと間違っていたらどこが間違っているか教えてほしいです🙇🏻‍♀️💦

266 nが自然数であるとき,(1+√2)"+(1-√2 )”は自然数であ ることを証明せよ。 ⑤

帰納法の証明のk+1以降の計算がわからないです

と仮定する。n=k+1 のとき, ①の左辺について考えると,②から 1+2+ ...... +2k-1+2=(2-1)+2k =2.2k-1=2k+1-1 すなわち 1+2 + ...... +2k-1 + 2(k+1)-1=2k+1_1 よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。

この問題なんですが、（１）は理解できたのですが、（２）からがつまずいてしまいます。2,3枚目にのせた似た問題の解説動画のやり方の方が自分にはあっているなと感じたので、そちらの解き方の方で解説していただければ嬉しいです！宜しくお願いいたします🙇

3 漸化式と数学的帰納法 (81) B1 例題 B1.39 分数型の漸化式 (2) **** 3a,+2 α=8, Q+1= a,+2 によって定義される数列{a} がある. a-B (1) bm とおくと. 数列 {b.) が等比数列になるような.α. a-a (α >β) の値を求めよ。 (2) 数列{a} の一般項 α を求めよ. (1) (b.}が等比数列になるのは, bu+i=rb, (公比r)と表されるときである. そのために、 bath を考えて,これを漸化式を利用して am で表してみる。 (2) (1) で導いた {bm} を利用して一般項を求める。 (考え方)] 3a+2 「解答」 (1) byt= an+1-B am+2 -B 3a+2-3 (a+2) 漸化式を用いるた ata 3a+2 3am+2-α (an+2) a めに bm+1 を考える. an+2 2-28 an+ (3-3)a,+2-28 3-8 3-β (3-a)an+2-2a 3-a 2-2a a₁+ 3-a したがって, 数列 {b.} が等比数列になるための条件は, 2-2a 2-28 -α= 3-α' -β= ~ 部分が同じ形に なれば、第一を 3-α 比として {b,} は等 数列になる. 3-8 である. α. βは,-x(3-x)=2-2xの2つの解であり x2-x-2=0 より x=2. -1 α=2,β=-1 3-β_3+1 =4 であるから 3-a 3-2 a+1_8+1_3 a>βより (2) (1)より また, b1= つまり, a+1 3 ・4"-1 a-2 8-2 2 an-2 2 よって, 特性方程式 (p.B14 参照) _3x+2 x+2 より. x2+2x =3x+2 x= bx+1=4bn 3 b 4"-1 (x-2)(x+1)=0 x=2, -1 と同じ解になる。 2(an+1) =3.4" (a-2) より, 6.4"+8 an= 3.4"-8 6.4"'+2 a= 3.4-2 6.4"+8 3.4"-8 α」=2, an+1= 習 39 ** (1) bm= an+B am+α 4a+1 によって定義される数列{an} がある. 2a+3 とおくと, 数列{bm} が等比数列になるような, α. β (a の値を求めよ. (2) 数列 {a} の一般項 am を求めよ. ➡p.B

これってn=k+1の時にまる2の左辺を作って13mを代入する方法でできないのですか？

500 基本 例 56 整数の性質の証明 解答 0000 すべての自然数nについて, 42n+1 +37+2は13の倍数であることを証明せよ。 このような自然数nに関する命題では, 数学的帰納法が有効である。 n=kの仮定n=k+1の証明の過程においては, Nがの倍数⇔N=mm は整数) を利用して進めることがカギとなる。 すなわち 42k+1+3k+2=13m (m は整数) とおいて -n=kの仮定 ← 42(+1) +1 +3(火+1) +2 が 13×(整数) の形に表されることを示す。 ← 基本55 n=k+1の証明 このように,数学的帰納法の問題では,n=k+1の場合に示すべきものをはっきりっ かんでおく・ ★ことが大切である。 「42+1+3+2は13の倍数である」 を①とする。 42-1+1+31+2=64+27=91=13・7 よって、 ①は成り立つ。 [1] n=1のとき ② これから [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 42k+1+3k+2=13m (m は整数) とおける n=k+1のときを考えると,② から 42k+1=13m-3+2 42(k+1)+1+3(k+1)+2=42.42k+1+3k+3 =16(13m-3k+2)+3k+3 =13.16m-(16-3).3k+2 =13(16m-3+2) 16m-3k+2 は整数であるから, 42 (k+1)+1 +3(k+1) +2は13 の倍数である。 S よって, n=k+1のときにも①は成り立つ。 (+ 指針」の方 仮定 ② が使えるよう 42 +1 の形を作り出すこ とがカギ。 の断りを忘れずに、 [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 結論を書くこと。 別解 1. 二項定理を利用 42n+1+3n+2=4・42n+32・3"=4・16"+9.3"=4(13+3)"+9.?