基本 例題50 2次方程式の解の存在範囲
OOOO0
2次方程式 x°-2px+カ+2=0 が次の条件を満たす解をもつように, 定数pの値
の範囲を定めよ。
(1))2つの解がともに1より大きい。
(2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。
p.81 基本事項 2
指針>2次方程式x°-2px+p+2=0 の2つの解をα, Bとする。
(1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0かつ β-1>0
(2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。→α-3とB-3が異符号
以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用
する解法(か.81 の解説)もある。これについては, 解答副文の別解参照。
解答
2次方程式x-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式
をDとする。
別解 2次関数
f(x)=x°-2px++2の
グラフを利用する。
D
-(-か-(カ+2)=Dがーカー2=(カ+1)(カー2)さ代
解と係数の関係から
1) >1, B>1であるための条件は27の」amにイコール
D0 かつ(α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(B-1)>0
D20 から
よって
(α-1)+(B-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 2カ-2>0
よって
(α-1)(B-1)>0 すなわち aB-(α+B)+1>0 から
α+8=2p, aB=p+2
軸について x=p>1,
209,2
f(1)=3-p>0
から 2<p<3
(p+1)(p-2)20
の
YA
ズ=p y=f(x)
pS-1, 2<p
3-P
p>1
0
1
B
x
p+2-2p+1>0
よって
求めるかの値の範囲は, ①, ②,
3の共通範囲をとって
かく3
である-0
(2) f(3)=11-5かく0から
11
カ>
5
-1
1
2 3
2冬pく3
(2) <Bとすると, α<3<Bであるための条件は
(α-3)(B-3)<0
題意から, α=Bはありえ
ない。
aB-3(α+B)+9<0
p+2-3-2カ+9<0
すなわち
ゆえに
かか
5
11
よって
p>言
