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の手順で塗り
a
値M (α) を求めよ。
を正の定数とする。 3次関数 f(x)=x3-2ax2+a'x の 0≦x≦1 における最大
む 3次関数の最大・最小
331
00000
[類 立命館大 ]
基本211
重要 214
指針▷ 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題 211 と同じ要領で, 極値と区間の端
での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x)の値の変化を調べると,y=f(x)のグラフは右図のようにな
合分けを行う。
よって、量α( <a
CHAN
3
小
(これをαとする) があることに注意が必要。
る(原点を通る)。ここで,x=/1/3以外にf(x)=(1/3)を満たす
f()
Kα が区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場
0
a a x
3
☑
変数の3枚ま
とにかく文字を
6章
37
最大値・最小値 芳和
になるように
解答
f'(x)=3x2-4ax+α
=(3x-a)(x-a)
高さ )
は右のようになる。
ここで,x=1/3以外にf(x)=
x
f(x)=0とすると
a
x=
a
3
f'(x) +
極42
|極大
極小
a>0であるから,f(x)の増減表 f(x) 4
27 93
a
1430
a
0 +
f(x)=x(x2-2ax+α2)
=x(x-α)2から
ƒ(3)=(-a)²=a³
[1] YA
03
27
0
4
27
含まれ
つ端の
ゆえに(x1/3)(x-01/30)=0
4
27
f(x)=1/17から x3-2ax2+ax-md=0
a
-αを満たすxの値を求めると
(1+
a2-2a+1
最大
1 1
4
--
O
27
1 a
4-3
a
4
> [s]
a
x+ であるから
x= -a
4
3
[2] y
記入し
したがって, f(x) の 0≦x≦1における最大値 M (a) は
4
最大
a³
以上から
4'
a
] 1</1/3 すなわち α>3のとき
4
[2]1/35 1/2/3 すなわち 24as3のとき M(a)=(1/3)
3
[3] 0</a<1 すなわち 0<a< 2 のとき
De+
<a<2,3<a のとき
(
0
M(a)=f(1)
a
1 a
4
3
a
[3] YA
M(a)=f(1)
a2-2a+1
最大
[8]
M(a)=a-2a+1
したがって
3
4 (D) M
≦a≦3のとき
M(a)=a³
10 a
a 4
4
27
3
al
x
注意 (*) 曲線 y=f(x)と直線y= 12/27は,x=
12/17
の点において接するか
a³
27
(x-1) で割り切れる。このことを利用して因数分解している。
練習
3
3
2
定数とする。関数f(x)=
+
3 2
>021
ax-axaの区間 0≦x≦2 にお
