無限等比数列の問題です。 画像の（1）と（2）の場合分けの仕方が違うのはなぜですか？ 教えほしいです🙇‍♂

✓ 56 rは定数とする。 次の数列の極限を調べよ。 (* (1) (2) mentrn m2n+2 1+y2n (3) r=0 のと

この問題が解説を読んでもうまく理解できません。どなたか解説お願いします…🙏🙏

1 **** 百合の数 先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。 ただし n≧2 とする。 各車両を赤色、青色,黄色のいずれか1色で塗ると き,隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何 通りか. 0212 AF CO (京都大) 考え方 まずは具体例で考える. n=2のとき, (2両の塗り方) 2両目が赤のとき,1両目は赤、青、黄のいずれでもよい。 (1) 2両目が青, 黄のとき, 1両目は赤でなければならない。 一般には,n両目を考え,それが赤か, 赤以外かで場合分けして考える. 解答 条件を満たすn両の車両の塗り方の数を an, そのうち最後 尾の車両が赤である塗り方の数をbm, 最後尾の車両が赤以外 である塗り方の数を cm とする. a2=5, 62=3, C2=2 n=2 の場合, また, an=bn+cn ････① ....... ここで,(n+1) 両目について考える. (n+1) 両目が赤のとき, n両目は赤, 青, 黄のいずれでも bn+1=bn+cn よいので, 一方,(n+1) 両目が青, 黄いずれかのとき, n両目は赤で なければならないので, Cn+1=26n ここで,b=1, G=2 とすると,②,③はn=1のときも 成り立つので、 n ≧1 として考える. ②③ bn+2=6n+1+26n [bn+2-2bn+1=-(bn+1-2bn) ・④ これより, | bn+2+bn+1=2(bn+1+bn) 5 2=2 ④より, 数列{bn+1-26} は初項 62-261=3-2=1, 公比1の等比数列だから, .... bn+1-26=1・(-1)^-1=(-1)^-1 ・⑥ ⑤より, 数列{bn+1+bn} は初項 62+b1=3+1=4, 公比2の等比数列だから, bn+1+bn=4.2n-1=2n+1 ⑥ ⑦ より, -3bn=(−1)n-1-2n+1, bn=(2²+¹+(−1)"} ③より,n≧2のとき, Cn=26n-1=2.1/23(2″+(-1)^-1=1/23(2"-2 (-1)"} 1 {2n+2-(-1)"} (通り) (n≧2) 3 よって,①より, - an= 最後尾の車両の色に 注目して考える. 1両目 2両目 赤 赤 赤62 青黄赤赤 C2 両目(n+1) 目 赤 }ón 赤 園 赤+1 Cn 赤}ón 青 赤}6 黄 x2=x+2 より *Cn+1 (x-2)(x+1)=0 x=2, -1 n≧2で考えると, b3-262 NLC =(3+2)-2・3=-1 ・⑦6+1-26な部分 |=-1(-1)-2 =(-1)-1 -(-1)"-¹=(-1)"

最初の変形はどうやってやっているのか、どういう形のときにこの問題みたいな変形をするのかおしえてほしいです！

[2] 次の漸化式で表される数列{an}の一般項を求めよ。 6. a1 = -2, 2,an+1=-3an-4n+3 (n = 1, 2,3,…) (5)

-9がどこから来たのかわからないです

問題 数列{an}の初項から第n項までの和Sについて, Sn=2an +3(n+1)が成り立つとする( n = 1,2,3,‥..)。 (1) an+1をanで表すと, an+1=アan ある。 (2) 数列{an}の一般項は, an =ウ・エn-1 + 才である。 - イで

数3積分の問題です。a nを求める時にa1と同じように求めるやり方でときたいのですが、計算式が分からないので教えて頂いきたいです。

練習 曲線 y=ers と y=exicosx で囲まれた図形のうち、(n-1)≦x≦nを満たす部分の面積を 5 250 an とする (n=1, 2,3, ......)。 (1) a1, an の値を求めよ。 (2) lim(a1+a2+・・・・・・ +αn) を求めよ。 [類 早稲田大〕 (1) HINT |cos x|≦1であるから e-*≧e-x|cosx | 上側にある。 Sex cos cosxdx=−e*cosx—Se*sinxdx =-e 12 00 = COS x よって, 曲線 y=e-x は曲線 y=e-x|cosx | の --ex sinx + fe*cosxdx) =-e-*cosx+e-*sinx-fe-*cosxdx 積分定数を考えて fe*cosxdx=1/21ex (sinx-cosx)+C 15/01 0≦|cosx|≦1, ex>0であるから ex=e*\cosx nie+ ↑① 上下関係を ←部分積分法。 530 ←同形出現。 1 この不定積分はαを 求めるときに必要になる ies+1) (3 調べる

この問題をlogを使わずに解くことはできませんか？ もしできるなら、その手順を教えてください

470 重要 例題 38 am = pa型の漸化式 a=1, an+1=2√an で定められる数列{an}の一般項を求めよ。 指針 に がついている形, a㎡²2 や an+] など 累乗の形を含む漸化式 解法の手順は ①1 漸化式の両辺の対数をとる。 am の係数りに注目して、底がりの対数を考える。 -log.MV=log..M+log.N logpasti = logsp+logpan" ←log A=klog.M すなわち logpan+1=1+qlogpan [2] logpam=ba とおくと 0m+1=1+gbm but=b.+▲ の形の漸化式 (p.464 基本例題 34のタイプ)に帰着。 対数をとるときは, (真数) > 0 すなわち a>0であることを必ず確認しておく。 CHART 漸化式 α+1 = pa" 両辺の対数をと よって, an+1=2√an の両辺の2を底とする対数をとると log2an+1=loga 2√an log2an+1=1+ ゆえに α=1>0で, an+1=2√an(>0) であるから, すべての自に注意 解答然数nに対して an>0である。 -log₂ an 2 bat1-1+1/230円 bn+1-2=1/12 (6-2) 10gzam=bm とおくと 00000 これを変形して ここで bı-2=10g21-2=-2 よって,数列{bm-2} は初項-2,公比 の等比数列で An-1 bn-2=-2 =-2(12) すなわち bm=2-23- したがって, log2an =2-22 から an=22-2 antipa 厳密には、数学的 で証明できる。 ◄loga(2-a) 練習 α1=1, an+1=20m² で定められる数列{an}の一般項を求めよ。 ③ 38 = log22+=logia, ◆特性方程式 a = 1+120 を解くと α=2 =2¹-" logaan=pand" anan+1 を含む漸化式の解法 検討 anan+1のような積の形で表された漸化式にも両辺の対数をとる が有効である。 例えば, logcanan+1=10gcan+logcan+1となり, logcan と 10gean+1の関係式を導くことが できる。 [類 慶応大] p.496 EX21 a

数列 等比数列の和について どっちの公式をつかえばいいのか分からないです。 分母がマイナスにならない方を選択する認識だったのですが、どのように区別するのでしょうか。

12:02 LQ-4/4 Check 解答 {an}: -1,-2, 6, -4, 22, -24,‥‥ {bn}: -1,8,-10,26, -46,... Cn=9(-2)^-1 よって, n ≧2のとき, n-1 bn = b₁ + Σck k=1 = {cn}:9,-18,36, -72,... よって,等比数列{cn}の初項は9, 公比は−2であるか ら、 n-1 −1+9(-2)k-1 k=1 =-1+ 9{(-2)^-1-1} -2-1 すなわち, n≧2のとき,bn=-3(-2)^-1+2 ..1 an = a1 + = ここで,b = -1であるから, ① はn=1のときも成 り立つ。 よって, bn =-3(-2)^-1+2 (n = 1,2,3,…) これを用いて, n ≧2のとき, n-1 k=1 n-1 k=1 =-1-3 n-1 bk {-3(-2)*-1+2} al 4G83 | (−2) n-1 Ex 結果を確認する

この問題の解き方がわからないので教えてください

n Σ2.3k -1 k=1

（3）を教えていただきたいです。

2 次の問いに答えよ。 TL (1) A=(-1)^-1 = 1 + (-1) +..+(-1)^-' を求めよ。 を求めよ。 (2) 和 Sn=(-1)^-1k=1+(-1)2+..+(-1) 77 · (3) #1 C₂₁ = ² Sk = ² (S₁ + S₂ + ··· + Sµ) *³*®) ko を求めよ。

126.1 このような記述でも問題ないですよね？？

6 基本例題 126 連立漸化式 (2) 数列{an},{bn}をa=1, bı=-1, an+1=5a46n, bn+1=an+bnで定めるとき (1) an+1+xbn+1=y(an+xbn) を満たすx, yの値を求めよ。 (2)数列{an},{bn}の一般項を求めよ。 基本118,125 an+xbn=(a+xbı)y"-1 指針▷p.575 基本例題 125 (1) と同様に, 〔解法1] 「等比数列を利用」の方針によって解けばよい。 (2) (1) から,数列{an+xb} は公比yの等比数列となり 46 これに αn=bn+1-b を代入し α を消去すると bn+1=(1-x)b+(a+xbi)yn-1 02 ① an+1=pan+q"型の漸化式 (p.564 基本例題118) に帰着。 ・・・・･･･・･ よって,① の両辺を y +1で割ればよい。 (pdx+b) 解答 (1) an+1+xbn+1=5an-4bn+x(an+bn) =(5+x)an+(-4+x)bn よって, an+1+xbn+1=y(an+xbn) とすると ...... (5+x) an+ (−4+x)bn=yan+xybn²+√x + b₂+1=an + b₂ S 5+x=yを -4+x=xy に代入して整理すると x2+4x+4=0 ゆえに これがすべてのnについて成り立つための条件は 5+x=y, -4+x=xy したがって 求める x, yの値は (2) (1) から *(a+b) + s ② から a=bn+1-6n, an+1=bn+2-bn+1 これらを①に代入して x=+=DV=6(2+4 [参考] 〔解法2] [1つの数列 に関する漸化式に帰着させ [る] の方針による解答 an+1=5an-4bn ① x=-2 x=-2,y=3 an+1-2bn+1=3(an-2bn) よって,数列{an-26n}は,初項 α1-261=3,公比3の等比 るから bn+2-66n+1+9bn=0 特性方程式x 2-6x+9=0を 解くとx=3 (重解) よって、p.573 基本例題 124 と同じ方針で,まず一般項6m